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选择公理（Axiom of Choice）是一种数学公理，它表明在任意数量的集合中，都可以选择一个元素形成一个新的集合。虽然在大多数数学理论中，选择公理被普遍接受并使用，但它仍然是有争议的，因为它与我们的直觉有些不同。 具体来说，选择公理的反直觉之处在于它允许选择一个元素的方式非常“任意”，它并没有说明如何选择这个元素，而是假定这样的选择是存在的。这与我们通常对选择的理解不同，我们通常会期望选择是有一定规律和方法的，例如我们会选择最小的元素、符合某种条件的元素等等。 考虑以下问题：容易找到两个无理数a，b使a＋b为有理数，或者使ab为有理数，在这两个情况都可以取
但是能否使得a的b次方也是有理数呢？是的。下面是一个优美的回答。令
如果x已是一个有理数，则得到所需的例子a=b=根号2就可以了；但是，如果x不是有理数，而是无理数，则令
就又得到了一个例子 现在的这个论证肯定已经确定了有这样的可能，即a和b都是无理数，而a^b是有理数。然而这个证明有一个非常有趣的特点：它是非构造性的，就是说，它并没有明确指出哪两个无理数能行。相反，它告诉我们或者令 a=b=根号2，或者令
总有一个情况能行。它不仅没有告诉我们起作用的究竟是哪一种情况，甚至一点线索都没有给我们。 这样一种论证一直让哲学家和倾向于哲学的数学家烦心，但是就主流的数学而言，它是一个完全被接受的重要类型的推理方法。形式地说，我们是求助于"排中律"。我们已经证明了某个命题的否定不可能为真，由此导出这个命题本身必定为真。对于以上证明的典型反应，并不是说它在哪种意义下不行，而是它的非构造本性让人惊奇。 然而，面对着这样一个非构造的证明，很自然地会去问，能否找到构造性的证明。说到底，一个实实在在的构造会使我们对这个命题有更多的洞察。这一点很重要，因为我们去证明一件事情，不仅是为了确知它为真，而想对于它为什么为真有一点概念。当然，要找一个构造性证明并不是因为非构造性的证明不对，而只是有一个构造性的证明可以提供更多信息。
选择公理是从一些集合做出其他集合的几个规则之一。这种规则的两个典型例子是下面的命题：对于任意的集合A，可以作出其一切子集合的集合，称为A的幂集，还有对于任意的集合A和任意的性质p，可以作出A中的所有具有性质p的元素的集合（这两条规则分别叫做幂集公理和概括公理）。粗略地说，选择公理说的就是允许我们在作出一个新集合的时候作任意多次未加特别说明的选择。 和其他公理一样，选择公理可能看起来是那么自然，以至于我们在使用它的时候还不觉得正在用它，真正的情况也是，在它第一次被形式地陈述以前，许多数学家都用过它了。为了对于它说的是什么有所了解，我们来看一下大家知道的可数集合的可数族之并仍是可数集合的证明。这个族为可数的事实，使我们能把它们列成一个单子A_1，A_2，A_3，…，然后，每一个单个的集合A_n也可数这一事实，又使我们能把它的元素列成一个单子 a_n1，a_n2，a_n3，……。最后，找一个系统的方法把所有的元素a_nm都数遍，就完成了证明。 在这个证明里面，我们确实做了无数次未经特别说明的选择。我们被告知，每个A_n都是可数的，然后就对A_n的元素"选择"了一个单子，而未特别说明是怎么选的。进一步，因为绝对没有对我们说明过这些A_n，所以当然也不可能说明是怎样把它们排列成一个单子的。这一点并没有使证明失效，但是它确实说明这个证明是非构造性的（注意，如果确实告诉了我们这些集合A_n究竟是什么，就很可能说明怎样把它的元素列成单子，这样就对这些集合之并为可数集合得出一个构造性的证明）。
下面是另一个例子。如果可以把一个图的顶点分成两类X和Y，使得同一类的任意两个顶点都不能用这个图的一个边连接起来，我们就说这个图是二分的（bipartite）。例如一个偶循环（就是排在一个圆周上的偶数个点，而把相邻的点连接起来）就是二分的，而没有一个奇循环是二分的。那么，无数多个偶循环的不相交并集合是不是二分的？当然是的：把每一个循环C的顶点分成两类X_c和Y_c，然后令所有X_c之并为X，所有Y_c之并为Y，这样就行了。但是对每一个C。我们选哪一个称为X_c，哪一个称为Y_c呢？我们不能具体地说明这一点，所以，我们又是应用了选择公理（只不过没有说罢了）。 一般说来，选择公理宣称：若给定一族非空集合X_i；则从每一个X_i；中，可以选择一个元素x_i；。更准确地说，它宣称：若x_i为非空集合，而i是一个指标集合I 的元，则有一个定义在I上的函数f，使对所有的i，f（i）∈X_i。这个函数称为这个族的选择函数。 对于一个集合，我们用不着任何单个的规则来做这件事。事实上，一个集合X_1 为非空这个命题，就是一个关于选择的命题：存在x_1∈X_1（更形式的说法是：映1为x_1的函数，就是这个仅含一个X_1的集合之"族"的选择函数）。对于两个集合，其实对于任意有限多个集合的族，我们都可以用对于集合个数作归纳来证明选择函数的存在。但是对于无限多的集合，不能从其他的构造集合的规则来证明选择函数的存在。 为什么要对选择公理大惊小怪呢？主要的理由在于，如果在某个证明中应用了选择公理，则证明的那一部分就自动地是非构造的了，这一点也就会反映在命题本身。对于我们所用的其他规则，例如"我们可以取两个集合之并"，则断定其存在的那个集合是由它的性质唯一地确定的。但是对于选择公理就不是这样，断定其存在的对象（选择函数）并不是由它的性质唯一地指定的，在典型情况下，都有许多选择函数存在。 由于这个原因，主流数学的一般观点是，哪怕选择公理用得没有问题，最好还是指明是应用了它，以便提请注意，这个证明是非构造性的。
一个其证明用到了选择公理的例子是巴拿赫-塔斯基悖论。这个悖论说有一种方法把一个单位球体分成有限多子集合，然后（用旋转、反射和平移）把这些子集合重新合并起来成为两个单位球体。证明并未给出如何定义这些子集合。 人们有时说，应用选择公理“令人不快”，或者说它的结果是“高度违反直觉的"，但是在绝大多数情况下，稍想一想就会发现，这些结果并没有违反直觉。例如再考虑一下上述的巴拿赫-塔斯基悖论。为什么它看起来很奇怪，似乎是悖论？这是因为我们觉得体积没有保持不变。而事实上可以把这种感觉转变为严格的论据。即这个分解所形成的子集合不可能都是可以有意义地赋予体积的那种集合。但是这根本不是悖论，对于一个好的集合，例如多面体，我们可以说清楚所谓体积是什么意思，但是完全没有理由假设对于球体的所有子集合，我们都能够有意义地定义其体积（有一个数学分支叫做测度论，可以用来给很大一类子集合，即可测集赋以体积，但是完全没有理由相信所有的集合都是可测集，而且可以证明确实有不可测的集合存在，不过这里又要用到选择公理）。
选择公理在日常的数学生活里比上述的基本形式用得更多的还有两个形式。其一是良序原理，它宣称所有的集合都可以良序。另一个是佐恩引理，它指出，在一定条件下必有"最大"元素存在。例如。一个向量空间的基底就是最大的线性无关集合，而结果是，若对向量空间的线性无关集合的整体应用佐恩引理，就可以证明每一个向量空间都有基底存在。 这两个命题都被说成是选择公理的形式，是因为它们都等价于选择公理，就是说，在其他的构造集合的规则都存在的条件下，它们的每一个都蕴含着选择公理，也可以从选择公理导出。要想看出为什么选择公理的这两个形式都有一种非构造的感觉，一个好办法是花上几分钟想一想怎样找出实数集合的良序，或者找出有所有实数序列所成的向量空间的基底。 |
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