认知即思索：微分方程的意义（三）

本文既可作为老少皆宜的休闲文章来看，也可作为本科生速成期末考试的灵丹妙药（笑）

珍贵老照片：狄拉克和泡利

这次的内容很简单很简单，我就讲明白一个公式：

它的通解是：

诶呀，贼吓人，对吧，如果您是一位大学生，很可能需要把它背会才能通过考试。

首先提示一下， 强烈建议大家先阅读笔者之前讲微分方程的文章，以免看不懂。

话不多说，我们看一个例子：

如何求这个方程的通解呢？

我并不想让大家直接去算，我们以dy/dx(y')为高度轴，x和y（f（x））分别为变量建立一个三维坐标系，我想让大家体会一下微分方程为什么被称为微分方程

z轴的物理意义是导数，x，y轴各自独立变化

这个图反映的是导数y’和x，f（x）（y=f（x））之间的变化关系，然而y和x之间依然存在其它的内在联系。它只能解析一部分信息，甚至里面的很多信息并不存在。

大家看了之后，心中不由得感慨道：

“多么直观，多么奇妙的数学啊，可惜我曾经的老师只是计算，没能让我领略这般风景~”

我们把上面那个公式拿过来比对一下：

发现，p（x）=tan（x），q（x）=cos（x），二话不说，我们套进之前那个很长的算式里看看情况：

而：

所以原式化为：

我们简单算一下，可以知道：

因为C是任意的，所以我们就可以把这些C都耦合到一块儿去，变成一个常数C：

于是，我们算出了通解

这个函数是什么呢？简单给大家看一下吧：

事实上，我们给这种形式的方程起了一个名字：一阶非齐次线性方程;

如果q（x）=0，那一坨积分套积分就没有了，我们也给它起了个名字，一阶齐次线性方程：

齐次方程便简单了

一阶的意思是方程最高就一阶导，齐次这个概念太麻烦无需理睬，不理解不影响大家理解它的本质，线性的意思指量与量成比例，成直线关系。

我个人觉得，多了这些文字描述只会徒增烦恼，你觉得呢？