认知即思索：黎曼ζ函数的意义是什么？（2）

让我们今天接着聊黎曼ζ函数：

这张图只显示了正半平面的函数（s>1）

解析延拓后复平面上负半平面的黎曼函数是什么呢？（s<0）：

你说道，我的老天爷，这也太可怕了，太复杂了！

于是，我先给大家看看黎曼ζ函数(s>1)的图像，它实际上涵盖了复平面正半轴（s>1）的部分，函数线上的点代表了复数坐标（x，yi），这张图出自up主：3bluebrown：

其实那个非常复杂的解析式只是看上去复杂而已，只要明白了各部分的意义，就能明白它的意义。

首先，我们看左边：

我们再看右边：

我们上次已经讲了s>1范围内的函数表达式，相信大家还记着它，这里只是换了个定义域，s用s'=1-s（s<0）代替了s(s>1) ：

s的意义还是我们上次说的，它代表复平面：

x，y可以随便取各种数

至于2π和sin没什么好说的，它们是普通的复函数，大家把它们类比为实平面（x，y）上的y=f（x）去理解就可以了，只不过是复平面s（x，yi）上的函数y=f（s）。比如这个人人皆知的迭代分形就是复函数f（s）=s²+C的图：

复变函数：曼德博罗集

那这个东西什么意思呢？

Γ是希腊字符，中文名叫伽马，也就是大写的γ，它的表达式是：

伽马函数有什么神奇的性质呢？如果看过我之前的文章，大家应该还记得阶乘怎么算：

阶乘

而

也就是说阶乘可以形成伽马函数形式的无穷积分，文中ε的意思是趋于0的一个无穷小量，它可以取到任意小，永远达不到0但是无限逼近0。至于这些积分怎么算的，这里就不展示了。我们用软件就可以算出结果。

我们把它广义化：从自然数n推广到实数轴x，从实数x推广到复数s=x+yi，于是有：

这些推广看似是理所应当的过程，实际上是多年来数学家的心血之作

数学中重要的是自然现象本身，繁琐的计算过程只能是研究这种现象的手段，我们要透过现象看本质。

这样，我们就知道了：

于是，你再回过头来看这个非常重要的黎曼负半平面解析式

它长什么样子呢？它实际上涵盖了整个复平面负半轴，函数线上的点代表了复数坐标（x，yi），这张图出自up主：3bluebrown。

它可以展开成：

如何才能得到这个复平面下才能成立的重要等式呢（不要觉得这个结果奇怪，它在物理学中有广泛的应用）：

只需要把s=-1带进上面的公式就可以了：

我们知道：

所以：

现在，我们已经讲完了s>1,和s<0区域内的黎曼函数了，然而最为神秘的s∈（0，1）内的函数还没有登场。

s∈（0，1）隐藏着科学界为之困扰的未解之谜