认知即思索：黎曼ζ函数是什么（1）

今天给大家谈谈黎曼zeta函数，黎曼zeta函数在我们的生活中很常见，但是我们却不知道它究竟有什么性质。（Zeta是ζ这个希腊符号的叫法）

首先，让大家看看它长什么样子：

1就是调和级数分界线，负的那部分只有在复数域里才成立

这个加和的式子就是黎曼ζ函数，用ζ（x）这种数学形式来表示。

我们把它展开看一下：

著名的调和级数就可以写成：

著名的巴塞尔问题：

我们看上面那个图就能发现（用软件画的）：

乍一看这个结果很奇怪，其实很好理解：

这个黎曼ζ函数有什么性质呢？

1.ζ（x）在（1，+∞）上连续且处处可导。

这是非常好的性质，连续就是说：这个ζ（x）的图像（我们不知道它的图像具体长什么样子）没有间断点，但是不是处处可导什么的，就不得而知了。函数虽然连续但不一定处处都可导。在一元函数中，可导这个性质比连续要好很多。

2.这个函数是非一致性收敛的，什么意思呢？

如果有一致性收敛作为桥梁，才能够使得每个函数的连续性，可导性与积分性质推到和函数上，这实际上是有限函数求和所得到的和函数性质所不需要的条件。（有限个连续 ，可导， 可积分函数的和也是连续，可导，可积分的)————知乎 崔小白

有人见过这种等式，它和量子力学中的卡西米尔效应息息相关，和弦理论也有关系（不过笔者并不认可没有实验支撑的弦理论，同时对量纲分析得到的普朗克尺度表示怀疑）：

真空涨落：卡西米尔效应

在实数域这样加是完全错误的！只有在我们人类看不见的复数域里这个等式才能彰显自己的威力，在复数域里这样加才是正确的。

黎曼ζ函数在复数域的定义是：

这个s是什么意思呢？它代表神奇的复平面，而且限定了实部x必须大于1：

如果把x+yi带进去会怎么样呢？我只拿出第三项来给大家看看效果：

这个东西的本质只是一个复平面里的复数；我们可以把复数理解为矢量，它既有大小也有方向：

我们的科学是循序渐进发展着的，就像无理数的发现，复数的发现，四元素的发现....后人又对ζ（s）进行了解析延拓，也就是拓宽了原函数的定义域，让它在负半平面也有效，解析延拓的规则是数学家的工作，牵扯的问题太多，这里就不说了，我们只需了解他们的工作成果就可以了：

于是他们得到了这样一个公式，至于它是什么意思，这篇文章就暂时不说了：

欲知后事如何，请听下回分解~

86-不存在的战区