在上一篇文章，我们已经讨论了黎曼zeta函数的一些零点，每个负偶数都是zeta函数的零点：ζ(−2)= 0，ζ(−4)= 0，ζ(−6)= 0，以此类推。这给我们提供了一种理解黎曼猜想的方法，再次回顾下黎曼猜想的内容：但负偶数只是zeta函数的平凡零点，我们不禁要问，那些“非平凡零点”在哪里？为了回答这个问题，我们必须走进复数世界。一个复数就是复平面上的一个点，为了说明复平面，我对复数做一点分析，首先考虑我们之前讨论过的无穷级数：这适用于复数吗？是的（在某些条件下）。例如，假设x是（1/2）i，那么级数收敛。事实上：左边等于0.8+0.4i，右边可以利用i^2=-1来化简，得到：从实轴上的1开始，加上1/2个虚单位（向上移动0.5），再减去1/4（向左移动1/4）……最后得到一个螺旋图，落在复数点0.8+0.4i处。回到非平凡零点，我要告诉你的是，黎曼zeta函数的非平凡零点都是复数！在1900年，关于非平凡零的位置，在数学上已经确定了如下事情：阴影部分被称为临界带，黎曼给出了更强的假设，就是黎曼猜想——非平凡零点实部都落在1/2上（临界线上）。- 零以共轭对的形式出现。也就是说，如果a + bi是一个零点，那么a - bi也是一个零点。
把黎曼zeta函数定义域推广到复数范围我们知道，复数是普通实数的一个非常简单的扩展，遵循所有的算术规则，只是增加了i^2=-1。自然而然地，我们可以用复数替代实数，把函数的定义域扩展到整个复数范围。如平方函数很容易扩展：具体如何定义e的复数次幂呢？下面等式显示了e^z的实际定义（对于任意数z，实数或复数）：如果z=πi，那么z^2=-π^2，z^3=-π^3i，z^4=π^4，z^5=π^5i，等等。把这些带入上式得到：同样，对数函数也可以扩展到复数。它只是指数函数的逆函数。那么，我们可以扩展黎曼zeta函数的定义域到复数范围吗？由于zeta函数公式仍然是一个无限级数求和，因此仍然存在收敛性问题。对于任何实部大于1的复数，和是收敛的，数学上称为：然而，就像对于实变量的zeta函数一样，数学技巧可以将zeta函数的定义域扩展到不收敛的区域。应用这些技巧之后，就得到了完整的zeta函数，它的定义域是所有的复数，只有一个例外，在s = 1处。如果有一些视觉辅助工具，复函数会更容易掌握。那么，如何将复函数可视化呢？我们来看看最简单的非平凡复函数，平方函数。如何画出它的函数图？如果自变量是实数，那么函数图很容易画出来：但这不能用于复函数，复函数变量需要用二维平面来表示。函数值需要另一个二维平面。为了得到一个图，需要四维空间来画它。这显然是不现实的。但我们可以换个方式。记住函数的基本概念，它将一个数字（参数）转换为另一个数字（函数值）。复数是复平面上的一点，函数值是另一个点。一个复函数把定义域内的所有点都“映射”到其他点上。你可以选择一些点，然后看看它们的走向。例如，复平面上一些构成正方形边的数字a、b、c、d，它们的值分别是−0.2 + 1.2i， 0.8 + 1.2i，0.8 + 2.2i，和 −0.2 + 2.2i。把这些数代数平方函数会怎样？−0.2 + 1.2i的平方是−1.4 − 0.48i，也就是a的函数值；将b、c和d平方可以得到其他角的值——我已经将它们标记为A、B、C和D。如果你对沿正方形边缘的所有点重复这个步骤，以及组成网格内部的所有点，你就会得到如上图所示的扭曲的正方形。把复平面想象成一块可以无限拉伸的橡胶片，然后问函数是如何作用这个橡胶片的，这对理解复函数很有帮助。从上图可以看出，平方函数将橡胶片围绕（0,0）点逆时针旋转并拉伸了。黎曼有非常强大的视觉想象力，构想出了这个“东西”，取整个复平面。沿负实轴切割，到原点为止。黎曼看来有着非常强的直观想象力，他做出了下面的构想。取整个复平面。沿负实（西）轴切割，到原点为止。现在抓住切口的上半部，以原点为中心，把它按逆时针方向拉。拉着它恰好转过 360 度。此时它在被拉伸了的橡胶片的上方，而切口的另一侧在这张膜的下面。让它穿过橡胶片（你必须想象，复平面不仅可以无限延伸，而且是用一种能穿过其自身的神秘物质制造的），并且把切口重新弥合。你脑海中的图景现在看起来有点像：这不是一个空想的或无关紧要的操作。由此出发，黎曼发展出了一个完整的理论，称为黎曼曲面理论。它包含了一些强有力的结论，并且让人们深刻地了解了复变函数的特性。它还把函数论与代数学和拓扑学联系起来，这是 20世纪数学的两个关键性发展领域。事实上，它是黎曼大胆无畏而不断创新的想象力的一个典型产物—历史上最伟大的头脑之一的一个成果。理解复变函数现在，把复变函数的自变量看作一只“无穷小”的蚂蚁。如上图所示，这只小蚂蚁用它前面的一只“手”抓着一个“小仪器”，这个小仪器有三个显示屏：因此，这只小蚂蚁始终精确地知道它在哪里，同时对于任何给定的函数，它知道它所站的那个点会被函数映射到哪里。现在我们让这个小仪器显示zeta函数，让这只自变量蚂蚁在复平面上自由漫步。当“函数值”显示零的时候，它就正好站在zeta函数的一个零点（“自变量”）上。这只小蚂蚁可以在它所到之处做上记号。于是我们就能知道zeta函数的那些零点在哪里了。实际上，我将要让这只自变量蚂蚁所做的工作，比上面所说的略多一点。我要让它给所有那些得出纯实数或纯虚数函数值的自变量作上记号。一个自变量，如果它的函数值是2或-2或2i或-2i，就要做上记号；如果它的函数值是3-7i，就不做记号。换一种方式说，被ζ 函数映射到实轴或虚轴的所有那些点都要做上记号。当然，因为实轴和虚轴在原点相交，得出这两条轴交点的自变量，就将是函数的零点。用这个方法，我可以得到ζ函数的某种图像。- 自变量平面，显示了被zeta函数“映射”到实轴和虚轴上的点。
上图显示了这只小蚂蚁探索旅行的结果。其中的直线显示了实轴、虚轴及临界带。而所有的曲线都是由那些能被映射到实轴或虚轴上的点组成的。试图想象出zea函数对复平面的作用结果是一项非常费力的智力操练。上面分析了，平方函数将这张平面在它自身上方拉伸了一圈，形成了双层膜曲面，而zeta 函数则无穷多次地做了同样的事情，产生了一个有无穷多层膜的曲面。如果你发现这很难被形象化，不要觉得很沮丧。你需要经过几年的长期实践才能获得对这些函数的一个直观感受。就像我说过的，我这里要用一种比较简单的方法。 现在我要让它沿着一些那样的曲线漫步。假设它从所站的点-2处开始起步。因为这是zeta函数的一个零点（平凡零点），函数值"显示屏的读数是0。现在他沿着实轴开始向西走。函数值从零开始缓慢爬升。它向西刚走过点- 2.717262829 时，函数值到达数0.009159890。然后它开始向着零跌落。函数值将一直下降，在自变量为-4时到达零。另一种表现一个函数的方式是采用函数值平面的"来源"图。前面讨论的是被映射到令人关注的值（在那些例子中是纯实数和纯虚数）的自变量，与此不同的是，我可以给出一张函数值平面的图，显示来源于令人关注的自变量的那些函数值点。让我们想象那个自变量蚂蚁有一个生活在函数值平面上的孪生兄弟。这个兄弟当然就是函数值蚂蚁。让我们进一步假设，这两兄弟保持着即时的无线电联系；而且它们用这个方法使它们的运动保持同步，以保证在任何瞬间，无论自变量蚂蚁正站在哪个自变量上，函数值蚂蚁就正站在函数值平面内的对应值上。例如，如果自变量蚂蚁正拿着它那设定在zeta函数上的小仪器在1/2+14.134725i上，那么函数值蚂蚁就站在它的平面即函数值平面的0上。现在假设，自变量蚂蚁不再沿着自变量平面上那些奇特的环线和螺旋线走（它们使得函数值蚂蚁只能乏味地在实轴和虚轴上来回行走），而是从自变量1/2出发，沿着临界线向正北方笔直走上去。那么函数值蚂蚁将沿着什么路线前进呢？- 函数值平面，一张非常经典的图，显示来自临界线上的那些点的函数值。
它的出发点是zeta（1/2），值是-1.4603545088095……。然后它在原点下方按逆时针方向走出一条类似半圆的弧线，接着在1附近拐弯并按顺时针方向转圈。它向原点走去并经过了它（那是第一个零点——自变量蚂蚁正好经过1/2+14.14.134725i）。然后它继续按顺时针方向转圈，并不时经过原点——每当它那位在自变量平面上的孪生兄弟踏上了zeta函数的一个零点。当自变量蚂蚁到达1/2+35i时，我停止了函数值蚂蚁的漫步。到这时为止，这条曲线五次经过了零点，对应于图上的五个非平凡零点。注意，临界线上的那些点有一种强烈的倾向，它们要映射到带有正实部的点上去。再说一遍，函数值平面不像自变量平面那样是“映射”图；它是"来源"图，显示了zeta函数作用于临界线的结果。函数值平面图中的这条不断转着圈子的曲线就是zeta（临界线），即来源于临界线上点的所有函数值点的集合。一般而言，自变量平面的"映射"图对于理解一个函数的广泛性质（即它的零点在哪里）来说是更好的工具。而函数值平面的"来源"图对于研究这个函数的特定方面或奇妙特性来说会更有用。"黎曼猜想宣称，zeta函数的所有非平凡零点都位于临界线上——实部是1/2的复数所构成的直线。目前知道的所有非平凡零点确实都位于那条直线上。当然，那并不能证明什么。zeta函数有无穷多个非平凡零点，没有一张图可以把它们全都表示出来。我们怎样才能知道第一万亿个，或者第一亿亿亿个，或者第一亿亿亿亿亿亿亿亿亿个是位于临界线上的呢？我们不知道，通过画图无论如何也无法知道。它与素数到底又有什么关系呢……
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