我们为什么需要拓扑学

    欧几里得空间，或称欧氏空间，想必是大家最熟悉的空间了。从认识一维的数轴、二维的平面到平面或空间直角坐标系，乃至在欧氏空间上画出的各种函数图像，这些无不都是在了解了欧氏空间的性质的基础上诞生出的各种各样的数学新天地。但是，假如要把欧氏空间的性质迁移到非欧氏的空间上面去，哪些性质可以迁移，哪些性质不能迁移呢？我们从1维欧氏空间看起。现在我们在平面上建立一平面直角坐标系，并且在平面上给出一个以x为自变量的连续函数f的图像（如图）

这里的连续函数的意义即微积分意义下的连续，即

        

注意，如果我们换一个直观一点的角度来理解连续函数f的作用，那它的作用可以理解如下：函数f的作用效果是把x轴这条直线（1维欧氏空间）变成了一条连续的曲线γ：{(x,y)|y=f(x),x  }（1维流形）。那么在这个连续函数作用的效果下，从原来的x轴到曲线γ，什么发生了改变，什么没有变？我们知道欧氏空间里有度量、内积等等体现欧氏空间性质的事物，但是这些东西在连续映射下并不能从x轴迁移到曲线γ上。以度量为例，我们知道区间（0,1）在欧氏度量下的长度是1，而曲线γ上两点(0,f(0))和(1,f(1))之间的曲线长度却一般不等于1，这说明在f的作用下两点间的长度会发生变化，这就说明f不能把欧氏度量完美地迁移到f的像上面，这是因为连续函数往往是把直线做了一个“伸缩变换”，把一根拉直的且有弹性的直线拉成了一根曲线。以正弦函数曲线为例，我们可以把y=sinx在区间[0,π]上的图像看成是把x轴上[0,π]这一段直线段固定两端点，把中间的部分往上拉，把它拉长成了正弦函数的曲线。但是我们注意到，虽然在连续函数的作用下直线段的长度变了，但是我们发现原来在x轴上挨在一起的点经过连续函数的作用后依然挨在一起，这一点其实就是微积分里连续函数的定义想要表达的事情。换句话说假设p为x轴上一点，q在p点的一个小邻域U里面，则经过连续函数f的作用后，f(q)仍然在f(p)的某个邻域V里（这里的V可以看成是平面上以f(p)为圆心的一个开球与γ的交集，即V=B(f(p),r)  γ，就是包含在开球B里面的那部分曲线）,且把q换成U中的任何一点上述性质都成立。这说明在函数f的作用下曲线γ继承了欧氏直线的某种特点，而这种继承是函数f的功劳，也体现出了函数f的一种特性，这就是函数的连续性。

    但是上面的函数连续性的定义存在着缺陷，那就是定义中仍然没有摆脱度量这一概念。先前我们已经看到，度量并不是连续映射（这里我们视函数和映射是一样的）下的不变量，它不是连续映射的本质的东西。因此我们想，是否可以扩展“连续”这一概念的定义，使之摆脱度量的限制而能够应用于更多例如无法定义度量的空间？为此我们还是需要从刚刚的函数f的例子出发。我们前面得出连续性的描述是：假设p为x轴上一点，q在p点的一个小邻域U里面，则经过连续函数f的作用后，f(q)仍然在f(p)的某个邻域V里,且把q换成U中的任何一点上述性质都成立。仔细琢磨这句话，哪儿可以给我们机会把度量踢出去？就是“邻域”这个概念。在原来的定义里面，邻域是用了  和δ来定义出来的，但是仔细一想，刚刚的描述里面我们只是说“某个邻域”，没有说具体多大的邻域，只要保证原来的邻域能被连续映射完全地转移进某个新的邻域就可以了，而不管这前后两个邻域的大小。我们想象有一个吹了一半的小气球，在上面找一个点a，用水笔画一个包含那个点a的圆圈，记圆圈围成的区域为D；接着把气球吹大，我们发现原来的区域D变大了，变成了一个大区域D’。因为气球变大是一个连续的变化，所以我们想气球从原状态变到更大的状态，这个过程应该可以用一个连续映射F来描述。我们发现，如果把原来的D看成是a的一个邻域，那么D’也是F(a)的一个邻域，且D中的每个点经过F的作用后都在D’里面（原来在圆圈里面的点经过气球吹大的过程后不会跑到圆圈外面去），这说明经过连续映射F, 原来的邻域D能被完全地转移进某个新的邻域D’里面。更一般地，我们可以考虑更高维度（如n维和m维）的欧氏空间之间的连续函数，这里某点p的邻域定义成包含该点p的一个开球B(p)。如果还要考虑高维欧氏空间里的子集X，那么X里面某点q的邻域定义为B(q)  X。由此，我们可以定义出一个更加普适的连续函数的定义： 

 srds这样定义出的连续函数仍然不是最完美的，问题还是出在“邻域”这个词上面。考虑二维欧氏平面，平面上一点p的邻域就是一个开球，即一个以p为圆心的开圆盘B。一个从  到  的连续映射f即把B中的点全部映射到另一个以f(p)为圆心的开圆盘B’的内部。但是，我们希望连续不只是能把球变成球而已，我们希望对于更加一般的集合，如二维平面上的椭圆，三角形甚至不规则的闭曲线所围成的图形，连续映射也能把它们连续地变成另一种图形。因此我们需要拓展“邻域”这个概念，用更一般的概念“开集”来描述连续映射。

我们发现，一个开集可以看成是由许多（可能是无数个）个开球（即原先定义的欧氏空间的邻域）作并运算得到的。因为一个开集U里每一点p都能找到一个包含在开集里面的邻域B(p)，所以U就可以看成是所以的B(p)的并，其中p遍历U中的所有点。写成数学表达即  而根据开集的定义，一个开球本身也是一个开集，根据前面的讨论，开集的任意并也是开集（两个开集的并无非是把更多的开球并起来了），开集的有限交也是开集（之所以是有限，是因为无穷个开球的交可能会变成非开集）。所以，开集实际上有着一种“粘连性”：两个开集粘起来（做并运算）还是开集，（有限次）取出重合的部分也还是开集。换言之，开集的内部它不会“裂开”（话说这也导致了开集的另一个定义：开集是一个等于自己的内部的集合）。而对于一个集合X，我们可以通过合适的方法定义出X里面的开集，即找出X的若干子集使之满足前面说的“开集的任意并也是开集，开集的有限交也是开集”的性质。如此，我们相当于在集合X上面赋予了一种有“粘连性”的特殊结构。如果把空集和X本身也加入开集的行列（可以验证它们总是满足开集的性质），那么所有拿出来的这些开集就构成了一个有特殊结构的新的集合T，这个集合里面的元素是X的一些子集（称为X中的开集），满足条件：

1.∅和X属于T；

2.T中元素的任意并仍属于T（即开集的任意并也是开集）；

3.T中元素的有限交仍属于T（即开集的有限交也是开集）；

满足上述三个条件的T就称为是空间X的一个拓扑。定义了拓扑的集合X，记为（X,T）,就称为是一个拓扑空间。可以看到，拓扑里面的元素是开集，而这正是为了研究如何连续地把欧氏空间的性质迁移到一般的空间才诞生的重要的工具。有了开集这个概念，对于任何两个拓扑空间，因为它们都定义了各自的开集与拓扑，所以我们可以考虑两个不同的拓扑空间X和Y之间的连续函数。至此，我们又可以利用开集来定义拓扑空间之间的连续函数的概念。我们看到这种定义已经完全摆脱了度量，且先前给出过的几种欧氏空间上的连续函数的定义都是这种定义的特殊情形：

   

    我们从欧氏空间开始，通过对连续性的探究，一路讨论到邻域、开集以及拓扑空间的概念，至此我们已经明白，引入拓扑是为了研究各种不同（拓扑）空间之间的函数的连续性，并且利用连续性把我们熟悉的欧氏空间的一些性质迁移到其他的空间上面，进而去研究各种不同的拓扑空间。例如要研究二维的曲面M，一般的方法是先给曲面M以三维欧氏空间的子空间拓扑以定义M上面的开集，再找到一个从二维欧氏空间  到M的一个连续函数，最好还是一个双向连续的双射，即同胚。如此即可把二维曲面转化到二维平面来研究。对于更加复杂的拓扑空间，也可以利用连续函数转化到已知的拓扑空间来研究，这就是拓扑学的重要作用。

    拓扑学里面经常会用到集合的连通性、紧致性、分离性等等特性，研究一般拓扑空间的基本结构的分支称为点集拓扑；此外可以利用代数里群的手段来研究拓扑空间的分类，如同伦群、同调群等等，这一分支称为代数拓扑；把连续性升级为可微性，研究微分流形和可微映射的分支称为微分拓扑。总之，拓扑学在数学的许多领域都有重要作用。