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如何上好高等数学课（二） 汪仪璋 二．课堂教学 一学期的教学任务能否完成，教学效果是好是坏，与课堂教学有很大关系。备了几个小时，甚至十几个小时的课，要在短短的100分钟内讲出来，还要讲得个个能听得懂，这对上课的人，特别是初上课的人来说，是一件不容易的事。因此，课堂教学是教学中最重要的一环，它不但能校验出教师备课是否充分，还能检验教师的表达能力与组织能力。在课堂教学中应注意以下几点。 1. 必须讲清基本概念，基本概念是数学课最主要的内容，基本概念不清就忙着解题，纵然能解一、二题，也是生搬硬套，如果把题目变一下面目，就会束手无措。所以在教学中首先必须使学生掌握基本概念，有些基本概念容易讲授，有些不易讲，学生也不易接受，如极限的基本概念。在应用类高等数学中对极限的描述，在讲授中，可先从实际例题出发，让学生对极限的概念有一个粗浅的认识，再用例题的具体数字及图像来讲授。下面便是极限的讲法，先讲两个实际例题。 （1）圆内接正多边形边数为n，当n不断倍增，正多边形面积Sn趋于圆面积πR（常量），这里n是自变量，Sn是n的函数，即当n→∞时，Sn→πR2.。此例题说明了先有量的变化渐渐接近于圆面积，最后达到质变而成为圆面积。 （2）某种植物的株高为h是一个变量，并且它是时间t的函数。成熟期株高为a，从种植开始起，时间t到成熟期T，这段时间内株高h越来越接近于常数a。 当t→T 时 h→a 以上两例说明极限的两种情况，第一例是当n→∞时函数趋于常量的情况，第二例是t→T 时，函数趋于常量的情况，这些常数便是函数的极限。 当学生从感性上认识了极限以后，用式子从数量与图像上来看具体的变化趋势，进一步弄清极限的概念。 例1：当x→∞时，研究函数y═1+1/x 的变化趋势。 先研究当x→+∞时函数y═1+1/x 的变化趋势。
由上表可以看出在x由正数无限变大时，y的值无限接近于常数1，所谓“无限接近”，即y与1的差可以变得任意小，就是说“要多小有多小“，即x→+∞时，y→1。 再从下表看x→─∞时，y→1。
综合以上两种情况，即x→∞时，y→1。 从图像上也可以看出x→∞时，y→。（图像略）
从以上两表可以看出当X逐渐增大，从左边趋近于2时，或X逐渐减小从右边趋近于2时，y的值均无限接近于4，即y与4的差可以变得任意小。如果我们要y与4的差小于0.00001从右边趋近取x<2.00001从左边趋近取x<1.99999即可，因此当x→2时，y→4。（即极限为4）。 再从图像上阐明当x→2时，y→4的意义。（图像略） 通过以上两例，最后引出极限的定义。
这样讲了以后，学生对极限的概念一般都能掌握。 在讲授极限概念过程中，要让学生明白，变量始终都在运动着，最后来一个飞跃，而达到质变。而且以后导数、定积分的概念，都是用极限来描述的，极限的概念弄清了，导数、定积分的概念，也就容易掌握。 2. 突出重点。每堂课都有重点，重点处必须讲深讲透。有些课的重点很明显，如函数的极限，教师只要把判别极值的方法小结一下就行了。有些课的概念很多，重点不突出，而且各个概念都很重要，教师必须抓住主纲，替学生理出一条路来。如讲无穷大与无穷小，首先小结对比它们的定义，重点指出它们都不是静止的常数，而是描写变量在变化过程中的变化趋势，它们是时刻在变的。无穷大不能用10万、万万来表示，无穷小也不能用0.0000001或
来表示，继而得出它们之间的关系，最后给出无穷小的性质与用法。 （1）可把极限写成极限值与无穷小的和。 （2）无穷小量间的比较。 告诉学生这两个概念，在后继各章有用，这样可把零碎的概念串连起来，便于学生复习掌握。 3. 科学处理难点。前面曾讲过，备课时要想方设法化难点为容易理解点的讲法。如在隐函数求导时，学生不易理解，关键是在对y求导时，要乘一个
，学生在这里很难接受，如把隐函数解为显函数来对比，很快便懂了。
4. 善于小结、善于对比。不定积分的方法层出不穷，学生不易掌握。这时教师不但要从纵的方面去小结，如直接积分法，换元积分法、分部积分法，以及它们的特点和用法，还要善于从横的方面去小结对比。
5. 指出各个特点，分清类型。微分方程讲授后学生有这样的反应，微分方程的各种解法掌握了，就是题目到手不知用何种方法。针对这种情况，教师在讲完后，必须指出各种类型的特点，尤其是三种特殊类型二阶微分方程，不含y的与不含x的往往混淆，它们的解法虽然各异，但又有相似之处。小结后，再用一批题目，混杂各种类型，让学生当堂训练区分，并述解法要点，帮助学生分清各种类型。 6. 联系实际。联系实际讲课，这是经常要用的方法。如在讲概率论，开始时要介绍各种事件间关系，这是十分抽象的一堂课，如不联系实际恰当举例，就不能讲深、讲透。下面就事件的包含、事件的相等联系实际进行举例。 7. （1）事件的包含。这个概念看起来很容易说明，例如有一筐A装有白菜、萝卜、土豆，另一筐B装有土豆，可以说A包含了B。但它还有一个定义：事件B发生则事件A也发生，叫做事件A包含事件B。要讲清楚必须先介绍什么叫做事件发生，再介绍什么是事件的包含。如以种子发芽为例：
(2). 事件相等。定义：事件A包含事件B，事件B包含事件A，则事件A与事件B相等。 以植保专业89届学生人数为例： 事件A：植保专业89届全班人数29人。 事件B：植保专业89届男生人数29人。（因该班没有女生） 植保专业89届全班人数就是男生人数，如果有一个男生来了，就代表植保专业89届全班有人来了。如果植保专业89届全班，有一个人来了，就代表植保专业89届男生有人来了。这样A包含了B，B包含了A。 则A═B 抽象的概念，通过举例讲解，课后消化，就容易理解。 三．习题课。 为了更好地让学生对课堂讲解的概念、公式、定理有很好的理解，习题课很重要，因此习题课一则要起复习、消化、巩固的作用，二则要起练兵的作用，三则要起培养独立思维的作用。 习题大致分为两种类型：一种是关于概念性的习题课，教师重在小结、联系实际、复习、消化、巩固概念。如对函数连续性的习题课，重在小结，举例证明函数在某点连续，以及如何求间断点等。 另一种是关于公式方法应用的习题课，先着重小结方法、公式的应用，再进一步举一些讲课时未曾举过的例题，把内容深化一些，然后让学生当堂练习或板演。如求导数、求不定积分等。此外再举一些较难的例题，启发学生的独立思考，有时还利用习题课，分析一些习题中的错误。 以上是我对高等数学课教学的肤浅小结，恰当与否仅供参考。 |
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