【原】2022年新高考数学命题方向

弘扬时代精神方向，立意鲜明，情景新颖，体现时代主题。试题体现中国特色社会主义进入新时代后的新材料、新情景、新问题，将考查内容进行包装，坚持“信息切入，能力考查”的原则。下面是小编为大家收集整理的关于2022年高考数学各道题命题趋势，一起来看看吧！

押第1题  集 合

高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．

1．研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义．

2．求集合的子集：若集合A中含有n个元素，则其子集个数为个，真子集个数为个，非空真子集个数为个.

3．有关集合运算的试题与函数、方程、不等式等知识综合时：

(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图或交、并、补的定义求解；

(2)点集的运算常利用数形结合的思想或联立方程组进行求解；

(3)连续型数集的运算，常借助数轴求解；

(4)已知集合的运算结果求集合，常借助数轴或Venn图求解；

(5)根据集合运算结果求参数，先把符号语言转化成文字语言，然后适时应用数形结合求解.

押第2题  复数

从近三年高考情况来看，复数为高考的必考内容，尤其是复数的概念、复数相等、复数的四则运算以及共轭复数，复数的乘、除运算是高考考查的重点内容，一般为选择题或填空题，难度不大，解题时要正确把握复数概念及准确运用复数的四则运算法则进行求解.

1．常用结论：

（1）；1－i1＋i=；1＋i1－i=.

（2）．

（3），．

（4）模的运算性质：①；②；③.

（5）设ω＝－21＋23i，则①|ω|＝1；②1＋ω＋ω²＝0；③＝ω².

2．易错点：

（1）判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．

（2）对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解，判别式不再成立．因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解．

（3）两个虚数不能比较大小．

（4）利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．

（5）注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z₁，z₂∈C，z12＋z22＝0，就不能推出z₁＝z₂＝0；z²<0在复数范围内有可能成立．

押第3题  计数原理

从2021年新高考和往年高考来看，计数原理是高考的一个重点内容，主要考察二项展开式的通项、二项式系数、展开式的系数、排列和组合等知识.

1．熟记二项式定理：，是解决此类问题的关键.

2．求二项展开式的特定项问题,实质是考察通项的特点,一般需要建立方程求k,再将k的值代回通项求解,注意k的取值范围（）.

（1）第项：：此时k+1=m,直接代入通项.

（2）常数项：即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程.

（3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.

3．对于参数问题，通常是运用通项由题意列方程求出参数即可；有时需先求n，计算时要注意n和k的取值范围及它们之间的大小关系．

4．二项式系数与项的系数的区别：二项式系数是指Cn0，Cn1，…，Cnn，它是组合数，只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．如(a＋bx)ⁿ的展开式中，第r＋1项的二项式系数是Cnr，而该项的系数是Cnra^n－rb^r.当然，某些特殊的二项展开式如(1＋x)ⁿ，各项的系数与二项式系数是相等的．

5．在解决排列、组合的应用题时，一定要清楚是先排列再组合，还是先组合再排列.

押第4题  数学新文化

2021年山东新高考和各省高考文理科数学卷中，总共考查了6道数学文化试题。题目大多是从中国古代数学著作中选取材料片段，体现了中华古代数学的辉煌成就。试题重在考查考生的阅读能力和数学素养，强调数学知识体体系和实际应用能力。

数学的发展历史中贯穿着科学的探索精神和治学之道,在高中学习中同步地引入数学文化知识，可以帮助学生构建合理的知识体系，培养数学素养，积极地培育和践行社会主义核心价值观。

近几年高考数学文化题出题背景和考察方式

（1）古代著名图形类型：概率、立体几何等。

（2）古代数学名题类型：线性规划等。

（3）著名数学猜想类型：概率等。

（4）学科交汇类型：数列、三视图等。

押第5题  统计

统计图表广泛应用于生产与生活之中,而近年高考试题强调问题的实际背景,这使得统计图表成为高考的一个热点,从近几年高考试题看,高考试题对统计图表的应用,不局限于课本涉及到的频率分布直方图与茎叶图,生产与生活中广泛使用的扇形图、条形图、折线图、雷达图等都曾在高考试题中出现过,这类试题可以是客观题,也可以是解答题,若以客观题形式出现,一般为基础题,求解的关键是能从图表中“读”出相关信息.

1.解决频率分布直方图问题时要抓住3个要点

(1)直方图中各小长方形的面积之和为1.

(2)直方图中纵轴表示组距频率,故每组样本的频率为组距×组距频率,即矩形的面积．

(3)直方图中每组样本的频数为频率×总体数．

2.用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数的方法

(1)众数为频率分布直方图中最高矩形底边中点横坐标；

(2)中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；

(3)平均数等于每个小矩形面积与小矩形底边中点横坐标之积的和.

3. 茎叶图的画法步骤及易错点

第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；

第二步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列；    

第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的两侧．

在绘制茎叶图时,易遗漏重复出现的数据,重复出现的数据要重复记录,同时不要混淆茎叶图中茎与叶的含义．

4.统计图

统计图是利用点、线、面、体等绘制成几何图形,以表示各种数量间的关系及其变动情况的工具.其中有条形统计图、扇形统计图、折线统计图、象形图等.其特点是:形象具体、简明生动、通俗易懂、一目了然.其主要用途有:表示现象间的对比关系;揭露总体结构;检查计划的执行情况;揭示现象间的依存关系,反映总体单位的分配情况;说明现象在空间上的分布情况.一般采用直角坐标系.横坐标用来表示事物的组别或自变量x,纵坐标常用来表示事物出现的次数或因变量y;或采用角度坐标(如圆形图)、地理坐标(如地形图)等.

5.柱状图及折线图

(1)柱状图用于显示一段时间内的数据变化或显示各项之间的比较情况,柱状图也就是条形统计图,注意柱状图与频率分布直方图的区别,柱状图的横坐标刻度为离散型随机变量,纵坐标为频数或频率等,频率分布直方图的横坐标刻度为连续型随机变量,纵坐标刻度为.

(2)折线图是用直线段将各数据点连接起来而组成的图形,以折线方式显示数据的变化趋势.折线图可以显示随时间（根据常用比例设置）而变化的连续数据,因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势.在折线图中,类别数据沿水平轴均匀分布,所有值数据沿垂直轴均匀分布.另外,在折线图中,数据是递增还是递减、增减的速率、增减的规律（周期性、螺旋性等）、峰值等特征都可以清晰地反映出来.所以,折线图常用来分析数据随时间的变化趋势,也可用来分析多组数据随时间变化的相互作用和相互影响.例如可用来分析某类商品或是某几类相关的商品随时间变化的销售情况,从而进一步预测未来的销售情况.在折线图中,一般x轴用来表示时间的推移,并且间隔相同；而y轴代表不同时刻的数据的大小.

押第6题  基本初等函数

从近三年高考情况来看，本节内容是高考中的热点内容，常以基本初等函数为载体，与其他知识相结合进行考查，其中函数的奇偶性、单调性和值域(最值)问题依然是命题的重点.

1.幂函数的性质：幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点。

2.指数函数的性质：当a>1时，指数函数对于x的负数值非常平坦，对于x的正数值迅速攀升，在 x等于0的时候，y等于1。当0<a<1时，指数函数对于x的负数值迅速攀升，对于x的正数值非常平坦，在x等于0的时候，y等于1。在x处的切线的斜率等于此处y的值乘上lna。

3.对数函数的性质：两句经典话：底真同对数正,底真异对数负。解释如下：

也就是说：若y=logab （其中a>0,a≠1，b>0）当0<a<1, 0<b<1时，y=logab>0;当a>1, b>1时，y=logab>0;

当0<a<1, b>1时，y=logab<0;

押第7题  平面向量

从近三年高考情况来看，本节内容是高考中的热点内容，常以平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积为考查重点.

1．进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．

2．向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．

3．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若，，则的充要条件是”解题比较方便．

利用平面向量的坐标形式判定向量垂直：.

4．平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式；二是坐标公式；

模的计算公式，或坐标公式.

押第8题  函数导数

函数导数一直是选择题和填空题高考的热点，尤其是导数与函数的单调性、极值、最值问题是高考考查的重点内容，有时也会考查导数的运算、导数的几何意义等，比较综合.

1．导数的几何意义的应用：

（1）已知切点P(x₀，y₀)，求y=f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f ′(x₀)，由点斜式写出方程；

（2）已知切线的斜率为k，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x₀，y₀)，通过方程k=f ′(x₀)解得x₀，再由点斜式写出方程；

（3）已知切线上一点(非切点)，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x₀，y₀)，利用导数求得切线斜率f ′(x₀)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x₀，最后由点斜式或两点式写出方程．

（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k=f ′(x₀)求出切点坐标(x₀，y₀)，最后写出切线方程．

（5）①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上.

②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上．

2．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立．一般步骤为：

（1）求f ′(x)；

（2）确认f ′(x)在(a，b)内的符号；

（3）作出结论，时为增函数，时为减函数．

3．由函数的单调性求参数的取值范围的方法

（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；

（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；

（3）若已知在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.

4．（1）求函数极值的方法：

①确定函数的定义域．

②求导函数．

③求方程的根．

④检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值．

（2）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.

5．求函数f (x)在[a，b]上最值的方法

（1）若函数f (x)在[a，b]上单调递增或递减，则f (a)与f (b)一个为最大值，一个为最小值．

（2）若函数f (x)在区间(a，b)内有极值，先求出函数f (x)在区间(a，b)上的极值，与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

（3）函数f (x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．

押第9题  统计概率

研究近年来高考试卷,不难发现概率统计题也融入新课标的教育理念,多角度、多视点地考查学生的数学素养,使学生的自主性和个性得以发挥。体现数学与社会、人与自然的和谐统一。许多试题体现了时代气息,有创新特色。

1．利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，易出错，应注意区分这三者，在频率分布直方图中：

（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；

（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；

（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．

2．解答各种图表信息题目的关键是充分利用图表所蕴涵的信息，通过读图表、思图表、分析图表，把图表中的内容翻译成数学语言，然后正确解答.

3．（1）利用枚举计数的方法考查古典概型，或结合排列、组合计数的方法考查古典概型，

（2）几何概型的判断关键是注意事件发生的种数具有无限性、等可能性，否则不为几何概型，同时要注意分清是面积型、长度型，还是角度型.

（3）随机变量及其分布若以小题形式考查，则试题难度不大，多为容易题或中档题，重点考查正态分布知识，有时也考查离散型随机变量的分布列与期望知识，注意该知识点即可.

押第10题  三角函数

从近几年的高考考察的方向来看.这部分的高考题以选择.解答题出现的机会较多.有时候也以填空题的形式出现.它们经常与三角函数的性质.解三角形及向量联合考察.主要题型有三角函数求值.通过三角式的变换研究三角函数的性质. 本讲内容是高考复习的重点之一.三角函数的化简.求值及三角恒等式的证明是三角变换的基本问题.历年高考中.在考察三角公式的掌握和运用的同时.还注重考察思维的灵活性和发散性.以及观察能力.运算及观察能力.运算推理能力和综合分析能力.

（1）解答此类题目，一般考虑如下三层：

第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。

第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。

（2）方法总结

（1）常值代换：特

（2）项的分拆与角的配凑。

（3）降次与升次。

（4）化弦（切）法。

（5）引入辅助角。

押第11题  圆锥曲线

高考对圆锥曲线知识的考查要有难有易，有小题也有大题，即要求考生熟练掌握与圆锥曲线有关的基础知识．有要求学生对知识有较深的理解。纵观近几年的浙江高考试题，圆锥曲线小题主要考查以下几个方面：一是考查基础概念，比方说：长轴、短轴、离心率、虚轴、实轴等基础概念．解决这类问题的关键在于正确理解圆锥曲线的概念，弄清圆锥曲线的意义．二是知识的延伸与运算。

方法总结

1 、定义法

2 、韦达定理法

3 、设而不求点差法

4 、弦长公式法

5 、数形结合法

6 、参数法（点参数、 K 参数、角参数）

7 、代入法

8 、充分利用曲线系方程法

押第12题  立体几何

高考立体几何承载着考查空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力的考查，是高中数学的传统及核心重点内容，也是高考命题创新的探索者.在每年的试题中，它在继承中求稳定，在创新中求发展. 为了准确地把握2021年高考立体几何小题命题思想与趋势，在最后的复习中做到有的放矢，提高复习效率，我们现一起分析研究2020-2017这4年的考题，以便发现规律，把握住高考命题的脉搏.

方法总结

1.找出需要我们做的事情，分析题干中的条件

2.找准基础概念

3.对于夹角问题可以用向量法解决。

押第13题  二项式定理

二项式定理是高考全国卷的一个高频考点,大多为基础题,且以小题的形式进行考查,考查热点是求二项展开式指定项的系数，或求形如的展开式中指定项的系数.

1．二项式定理的展开式

,其中组合数叫做第r+1项的二项式系数；展开式共有n+1项.

注意：（1）项的系数与二项式系数是不同的两个概念,但当二项式的两个项的系数都为1时,系数就是二项式系数.如在的展开式中,第ｒ＋１项的二项式系数为,第ｒ＋１项的系数为；而的展开式中的系数就是二项式系数；（2）当n的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数；（3）审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？（4）特例：

2.二项式定理的通项

二项展开式中第r+l项称为二项展开式的通项,二项展开式通项的主要用途是求指定的项.主要用于求常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性.

注意：通项公式是表示第项,而不是第项.展开式中第项的二项式系数与第项的系数不同.通项公式中含有五个元素,只要知道其中的四个元素,就可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中,常常遇到已知这五个元素中的若干个,求另外几个元素的问题,这类问题一般是利用通项公式,把问题归纳为解方程（或方程组）.这里必须注意是正整数,是非负整数且≤.

3.项的系数和二项式系数的性质

(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（）．

(2)增减性与最大值：

当时,二项式系数C的值逐渐增大,当时,C的值逐渐减小,且在中间取得最大值.当n为偶数时,中间一项（第＋1项）的二项式系数取得最大值.当n为奇数时,中间两项（第和＋1项）的二项式系数相等并同时取最大值.

(3)各二项式系数和：∵,令,则 ,

(4)用二项式定理进行近似运算,关键是恰当地舍取不影响精度的项,一般地：当很小时,有.

4.二项定理问题的处理方法和技巧

⑴运用二项式定理一定要牢记通项,注意与虽然相同,但具体到它们展开式的某一项时是不同的,一定要注意顺序问题,另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念,前者只指,而后者是字母外的部分．前者只与和有关,恒为正,后者还与,有关,可正可负．

⑵ 对于二项式系数问题,应注意以下几点：

①求二项式所有项的系数和,可采用“特殊值取代法”,通常令字母变量的值为1；

②关于组合恒等式的证明,常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法；

③证明不等式时,应注意运用放缩法.

⑶ 求二项展开式中指定的项,通常是先根据已知条件求,再求,有时还需先求,再求,才能求出.

⑷ 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决,但要注意分类清楚,不重不漏.

⑸ 对于二项式系数问题,首先要熟记二项式系数的性质,其次要掌握赋值法,赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.

⑹ 近似计算要首先观察精确度,然后选取展开式中若干项.

⑺ 用二项式定理证明整除问题,一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开,常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决.

多项式乘法的进位规则:在求系数过程中,尽量先化简,降底数的运算级别,尽量化成加减运算,在运算过程可以适当注意令值法的运用,例如求常数项,可令.在二项式的展开式中,要注意项的系数和二项式系数的区别.

5. 求展开式系数最大项

如求 ()的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展开式各项系数分别为,且第项系数最大,应用从而解出k来,即得．

6.二项式应用问题

(1)利用二项式定理解决整除问题时,关键是进行合理地变形构造二项式,应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除,只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．

(2)求余数问题时,应明确被除式与除式 (),商式与余式的关系及余式的范围．

(3)展开式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零和整数．解决这类问题时,先要合并通项中同一字母的指数,再根据上述特征进行分析．

(4)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等,一般要利用通项公式,运用方程思想进行求值,通过解不等式(组)求取值范围．

7.二项式定理是一个恒等式,使用时有两种思路：

一是利用恒等定理(两个多项式恒等,则对应项系数分别相等)；二是赋值．二项式定理结合“恒等”与“赋值”两条思路可以使很多求二项展开式的系数的问题迎刃而解．

赋值法是处理组合数问题、系数问题的最有效的经典方法,一般对任意,某式子恒成立,则对中的特殊值,该式子一定成立,特殊值如何选取视具体情况决定,灵活性较强,一般取居多.若则设.有：

① ②

③  ④

⑤

押第14题  数列

数列是高考每年必考的一个知识点,每年的高考试题中或者有1道解答题或者有2道客观题，若有2道客观题，至少有1道是基础题，数列基础题一般具有小巧活的特点，考查热点一是等差数列与等比数列基本量的计算，二是等差数列与等比数列的性质，三是与数列有关的数学文化试题．求解数列基础题要注意方程思想的应用，即把所求问题转化为利用解方程求基本量.

1.方程思想求等差数列基本量

等差数列中，已知5个元素a₁，a_n，n，d，S_n中的任意三个，便可求出其余两个．除已知a₁，d，n求a_n，S_n可以直接用公式外，其他情况一般都要列方程或方程组求解，因此这种问题蕴含着方程思想．注意，我们把a₁，d叫做等差数列的基本元素．将所有其他元素都转化成基本元素是解决等差数列问题的一个非常

2.求等差数列前n项和最值的方法

(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；

(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；

(3)将等差数列的前n项和S_n＝An²＋Bn(A，B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值．要注意a_n＝0的情形．

3.等差数列的性质

(1)项的性质：在等差数列{a_n}中，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N^*)，则a_m＋a_n＝a_p＋a_q.

(2)和的性质：在等差数列{a_n}中，S_n为其前n项和，则

①S_2n＝n(a₁＋a_2n)＝…＝n(a_n＋a_n＋1)；

②S_2n－1＝(2n－1)a_n.

4．等比数列中的基本运算

在等比数列五个基本量a₁，q，n，a_n，S_n中，已知其中三个量，可以将已知条件结合等比数列的性质或通项公式、前n项和公式转化为关于基本量的方程(组)来求得余下的两个量，计算有时要整体代换，根据前n项和公式列方程还要注意对q是否为1进行讨论．

5.等比数列常见性质的应用

(1)在等比数列中，若S_n≠0，则S_n，S_2n－S_n，S_3n－S_2n成等比数列．

(2)等比数列中，依次m项积仍为等比数列，但公比发生改变．

(3)性质“当m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N^*)时，有a_m·a_n＝a_p·a_q”常用来转化条件．

押第15题  双曲线

双曲线是高考全国卷每年必考知识点,且均以客观题的形式进行考查,若为基础题,主要考查双曲线的几何性质,考查热点是双曲线的渐近线与离心率,若为较难题,一般常涉及直线与双曲线的位置关系、范围与最值问题,2020年全国Ⅰ卷以填空题形式考查双曲线,难度中等偏易,2021年全国新高考Ⅱ卷以填空题形式考查双曲线,难度中等偏易,预测2022年全国新高考Ⅰ卷以选择题形式考查双曲线的可能性较大,难度依然会保持中等偏易.

1.双曲线的定义与方程

(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出双曲线方程；

(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF₁|－|PF₂||＝2a,运用平方的方法,建立与|PF₁|·|PF₂|的联系．

(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系,求出a,b的值,如果已知双曲线的渐近线方程,求双曲线的标准方程,可设有公共渐近线的双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0),再由条件求出λ的值即可．

2.双曲线的几何性质

(1)注意双曲线a2x2－b2y2＝1(a>0,b>0)的实轴长是2a,不是a.

(2)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率,在双曲线a2x2－b2y2＝1(a>0,b>0)中,离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±ab满足关系式e²＝1＋k².在求双曲线的离心率范围时要注意离心率.

3.直线与双曲线的位置关系

(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程,消元,得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时,直线与双曲线相交于某支上一点,这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时,用判别式Δ来判定．

(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题,但需要检验．

押第16题  空间几何体

空间几何体是高考全国卷每年必考知识点,作为客观题考查的空间几何体试题主要涉及三视图、几何体的表面积与体积、截面等内容,难度有容易题也有难度较大的题，求解本类问题的关键是空间想象能力及运算能力，预测2022年依然会有2道立体几何题.依然会遵循前几年的命题风格.

1.空间几何的结构特征

(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一反例即可．

(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．

(3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．

2.三视图问题的常见类型及解题策略

(1)由几何体的直观图求三视图．注意观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．

(2)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．

(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形状，然后再找其剩下部分三视图的可能形状．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．

3.用斜二测画法画直观图的技巧

(1)在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出．

(2)注意斜二测画法中的“三变”与“三不变”

“三变”图形改变与y轴平行的线段的长度变为原来的一半

“三不变”相对位置不改变与x，z轴平行的线段的长度不改变

4.空间几何体表面积的求法

(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．

(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．

5.空间几何体体积问题的常见类型及解题策略

(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．

(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．

(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．

押第17题  解三角形

解三角形问题是高考的高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要考查利用三角形的内角和定理，正、余弦定理，三角形面积公式等知识解题，难度中等．解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边化角”或“角化边”，另外，要注意a＋c，ac，a²＋c²三者的关系．

1．利用正、余弦定理求边和角的方法：

（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．

（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.

（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用．

2．常见结论：

（1）三角形的内角和定理：，常见变式：，．

（2）三角形中的三角函数关系：；；；   ．

3．在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解．

4．求三角形面积的方法：

（1）若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解；

（2）若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键；

（3）三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．

5．几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中．

押第18题  数列

数列是高考每年必考的一个知识点,每年的高考试题中或者有1道解答题或者有2道客观题，若有2道客观题，其中有1道可能是难度较大的综合题，数列综合题考查热点是分段函数、数列求和、数列的最值、数列与函数、不等式的交汇.2021高考全国Ⅰ卷没有出现难度较大的数列综合题，预测2022高考全国Ⅰ卷出现难度较大的数列综合题的可能性比较大.

．

1.数列与函数

数列是一种特殊的函数,通过函数的思想观点去直观地认识数列的本质是高考能力立意的指导思想.数列的通项及前n项和的作用在于刻画a_n及S_n与n的函数关系,数列的性质可以通过函数的性质反映出来,这为数列问题的解决提供了一个新的方向.在数列中,求a_n和S_n的最值问题都可以通过求相应函数的最值的方法解决,通常利用函数的单调性,要注意自变量不连续. 

2．若数列{a_n}的前n项和为S_n，通项公式为a_n，

则a_n＝Sn－Sn－1，n≥2.S1，　　　　n＝1，

3．数列中项的最值

数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解.在数列{a_n}中，若a_n最大，则an≥an＋1.an≥an－1，若a_n最小，则an≤an＋1.an≤an－1，

4.已知数列的递推关系求通项公式的典型方法

(1)当出现a_n＝a_n－1＋m时，构造等差数列；(2)当出现a_n＝xa_n－1＋y时，构造等比数列；(3)当出现a_n＝a_n－1＋f(n)时，用累加法求解；(4)当出现an－1an＝f(n)时，用累乘法求解．

5.解决数列的单调性问题可用以下三种方法

①用作差比较法，根据a_n＋1－a_n的符号判断数列{a_n}是递增数列、递减数列还是常数列．

②用作商比较法，根据anan＋1(a_n＞0或a_n＜0)与1的大小关系进行判断．

③结合相应函数的图象直观判断．

6.解决数列周期性问题的方法

先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．

7.分组转化法求和的常见类型

(1)若a_n＝b_n±c_n，且{b_n}，{c_n}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a_n}的前n项和．

(2)通项公式为a_n＝cn，n为偶数bn，n为奇数，的数列，其中数列{b_n}，{c_n}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．

提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．

8.错位相减法求和时的注意点

(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；

(2)在写出“S_n”与“qS_n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S_n－qS_n”的表达式；

(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．

9.裂项求和

(1)用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：n＋k1＝k1(－)，()nn＋k1＝k1(n1－n＋k1)，裂项后可以产生连续相互抵消的项．

(2)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．

押第19题  立体几何

对于立体几何的解答题，在高考中常借助柱、锥体考查线面、平行与垂直，考查利用空间向量求二面角、线面角、线线角的大小，考查利用空间向量探索存在性问题及位置关系等，难度中等偏上．

1．用向量法求异面直线所成的角

（1）建立空间直角坐标系；

（2）求出两条直线的方向向量；

（3）代入公式求解，一般地，异面直线AC，BD的夹角β的余弦值为.

2．用向量法求直线与平面所成的角

（1）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；

（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．

3．用向量法求二面角

求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．

4．平面所成的二面角为，则，

如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝．

如图②③，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝，二面角的平面角大小是向量n₁与n₂的夹角(或其补角)．

押第20题  统计概率

统计概率是高考的重点和热点，从2019年高考情况来看，更是有压轴题的趋势，并且分值和题量都略有增加。其中解答题考查涉及的主要方向有：（1）与社会生活紧密相连，紧跟时代步伐创设情境。（2）概率的求解．同时也常渗透考查统计知识，背景新颖，体现了概率与统计的工具性和交汇性，综合考查考生的应用意识、阅读理解能力、数据处理能力和转化与化归思想的应用；（3）统计知识．其核心是样本数据的获得和分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图、样本的数字特征、线性回归方程、独立性检验，常与概率交汇命题，意在考查考生的数据分析能力和综合应用能力．

1．均值与方差的性质

若Y=aX+b，其中a，b是常数，X是随机变量，则

（1）E（k）=k，D（k）=0，其中k为常数；

（2）E（aX+b）=aE（X）+b，D（aX+b）=a²D（X）；

（3）E（X₁+X₂）=E（X₁）+E（X₂）；

（4）D（X）=E（X²）–（E（X））²；

（5）若X₁，X₂相互独立，则E（X₁·X₂）=E（X₁）·E（X₂）；

（6）若X服从两点分布，则E（X）=p，D（X）=p（1–p）；

（7）若X服从二项分布，即X~B（n，p），则E（X）=np，D（X）=np（1–p）．

2．随机变量是否服从超几何分布的判断

若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：

（1）该试验是不放回地抽取n次；（2）随机变量X表示抽取到的次品件数（或类似事件），反之亦然．

3．求超几何分布的分布列的步骤

第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；

第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；

第三步，用表格的形式列出分布列．

4．求超几何分布的均值与方差的方法

（1）列出随机变量X的分布列，利用均值与方差的计算公式直接求解；

（2）利用公式E（X）=，D（X）=求解．

押第21题  圆锥曲线

圆锥曲线部分历来是高考的重点,也是学生心中的难点,很多学生对圆锥曲线都有畏惧心理.从高考成绩分析上来看,圆锥曲线也是高考得分较低的部分;从考纲上来看,一般会"考查学生对解析几何基本概念的掌握情况,考查学生对解析几何基本方法的一般应用情况,适当地考查学生对几何学知识的综合应用能力,重视对数学思想方法的渗透".通过近几年的高考可以看到浙江高考题在圆锥曲线这一块考抛物线较多。圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必有一道解答题，常以求圆锥曲线的标准方程，研究 直线与圆锥曲线的位置关系为主，涉及题型有定点、定值、最值、范围、探索性问题等，此类命题第（1） 问起点较低，但在第（2）问中一般都有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常以压轴 题的形式呈现．解决此类问题的关键是找到已知条件和代求问题之间的联系，实现代求问题代数化，与已 知条件得到的结论有效对接，难点在于代求问题的转化问题

方法总结

1.圆锥曲线中最值问题的求解方法

（1）几何法：通过利用圆锥曲线的定义和几何性质进行求解

（2）代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数

方法、不等式方法等进行求解．函数主要是二次函数、对勾函数或者导数求解，不等式主要是运用基

本不等式求解

2.圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．

(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．

(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．

(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．

3定点、定值模板

1.寻找适合运动变化的量或者参数，如点坐标，直线的斜率，截距等，把相关问题用参数表示备用，或

者找寻带有参数的直线与曲线联立方程组，得到关于 x 或 y 的一元二次方程，利用韦达定理列出 x1x2，

x1＋x2(或 y1y2，y1＋y2的关系式备用

2.根据已知条件把定点、定值问题转化为与参数有关的方程问题，与第一步的结论对接

3，确定与参数无关点、值，即为所求.

押第22题  导数

导数的应用也一直是高考的热点，尤其是导数与函数的单调性、极值、最值问题是高考考查的重点内容，有时也会考查导数的运算、导数的几何意义等，比较综合.

1．导数的几何意义的应用：

（1）已知切点P(x₀，y₀)，求y=f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f ′(x₀)，由点斜式写出方程；

（2）已知切线的斜率为k，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x₀，y₀)，通过方程k=f ′(x₀)解得x₀，再由点斜式写出方程；

（3）已知切线上一点(非切点)，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x₀，y₀)，利用导数求得切线斜率f ′(x₀)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x₀，最后由点斜式或两点式写出方程．

（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k=f ′(x₀)求出切点坐标(x₀，y₀)，最后写出切线方程．

（5）①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上.

②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上．

2．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立．一般步骤为：

（1）求f ′(x)；

（2）确认f ′(x)在(a，b)内的符号；

（3）作出结论，时为增函数，时为减函数．

3．由函数的单调性求参数的取值范围的方法

（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；

（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；

（3）若已知在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.

4．（1）求函数极值的方法：

①确定函数的定义域．

②求导函数．

③求方程的根．

④检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值．

（2）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.

5．求函数f (x)在[a，b]上最值的方法

（1）若函数f (x)在[a，b]上单调递增或递减，则f (a)与f (b)一个为最大值，一个为最小值．

（2）若函数f (x)在区间(a，b)内有极值，先求出函数f (x)在区间(a，b)上的极值，与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

（3）函数f (x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．