|
这是老黄见过的一道比较特别的中考数学压轴题，解法也是相当独特的，一般人恐怕很难想到。出题人还挺暖心的，给考生做了充足的引导。题目是这样的： 如图1,在Rt△ACB，∠ACB=90度，CA=6，CB=8，点E是中线CD的中点，点P是边CB上的动点（点P,C不重合），点F,C关于直线AP成轴对称，连结DF,EF. 小明为了研究点P运动过程中，DF, EF之间的大小关系，借鉴了函数的学习经验，设PC=x, DF=y1, EF=y2, 并利用几何画板画出如图2所示的y1,y2关于x的函数图像，且这两条函数图像的交点M的坐标约为(2.08,1.73). (1)求图1中DE的长. (2)写出图2中的点M的实际意义及a的值. (3)结合图像，写出点P在运动过程中，等腰三角形DEF的个数，并说明理由. (4)当y2=DE时，求x的值.  解：(1)AB=根号内(CA^2+CB^2)=10，CD=AB/2=5, DE=CD/2=2.5.【送分题，没什么好说的，不过这个结论却关系到下面几个问题】 (2)点M表示，y1=y2, 即DF=EF时的情形. 此时△DEF是等腰三角形. 【这个结论也是第(3)小题所需要的一种情形】 a点表示点P，B重合，a=PC=CB=8.【这里出题人暗示了，解这道题，读图能力的重要性，解第(3)小题，如果没有在这里得到启发，将会变得超级难】 (3)等腰三角形DEF有4个，理由如下：【如果要把四种情形都推出来，无异于“自寻绝路”，中考现场根本不可能做到，因此，我们要在图像中找到解决的办法。千万不要用待定系数法去求函数的解析式，因为这两个图像都不是我们常用的函数的图像】  图2中，直线y=2.5与曲线y1=DF有2个交点,【M点的纵坐标保证了这两个交点的存在，严格来说，还要求当x=8时，y1的值，或证明此时y1(8)>2.5】 代表有2个△DEF，使DF=DE， 直线y=2.5与y2=EF(x≠0)有1个交点,【y轴上的交点是点P, C重合的情形，要排除. 因为y2(8)>y1(8)，所以不需要求y2(8)的值，也不需要证明y2(8)>2.5，除非y1(8)<2.5。不过题目说：“利用几何画板画出如图2所示”，证明这个图是绝对准确的，所以老黄觉得并不需要进行这方面的证明】 代表有1个△DEF，使EF=DE， 加上(2)中的等腰三角形DEF，一共有4个. 【图2还保证了第(4)小题，可以采用比较高效的解法】 (4)当A,E,P在同一直线上时，由轴对称的性质有，y2=EF=CE=DE=CD/2，【如果反过来，由后面的结论反推A,E,P在同一直线上，会变得异常困难。而这里之所以可以这样设，也是建立在EF=DE的等腰三角形DEF只有一个的基础上的，如果有两个以上，那么就还要考虑其它情形】 联结CF，则CF⊥AP, 且∠CFD=90度，∴DF//AP, 延长DF交BC于Q，则在△BAP中，BQ=PQ，在△CDQ中，CP=PQ， ∴CP=BC/3, 即x=8/3. 【最后注意检验，结果要大于M点的横坐标，因为满足条件的点在M点的右侧。】  您觉得这道题怎么样呢？ |
|
|
