 这是老黄见过的最不像高考题的高考数学题，完全就是一道数论题。这样的题实在是太烧脑了。高考要是遇到这样的题目，恐怕有很多考生就得直接投降了。不过平时要是多到老黄的高考数学圈里学习，那就有可能解决掉它了。题目是这样的： 将2006表示成5个正整数x1,x2,x3,x4,x5之和. 记S=∑(1<=i<j<=5)xixj. 问： (1)当x1,x2,x3,x4,x5取何值时，S取最大值； (2)进一步地，对任意1<=i<j<=5，有|xi-xj|<=2，当x1,x2,x3,x4,x5取何值时，S取最小值。 分析：首先要明确∑(1<=i<j<=5)xixj=x1x2+x1x3+x1x4+x1x5+x2x3+x2x4+x2x5+x3x4+x3x5+x4x5. 解决这个问题，需要大胆假设，走不出这一步，就无法解决这个问题。均值不等式给了我们启发，可以猜想：当x1,x2,x3,x4,x5之间的距离越小，或者说，波动越小时，S就会越大。比如，当x1=x2=x3=x4=x5时，S可能最大。但这样x1,x2,x3,x4,x5就都不是正整数。 因此我们假设任意两个数xi,xj之间的距离不大于1。然后不按套路出牌，用反证法，反证“正确的答案”是错误的，即存在x1,x2之间的距离大于1时，使S反而更大。通过证明反证的方法不正确，来反证反证的结果是正确的。 而第(2)小题则用列举法，并且结合(1)的解题过程，就可以得到答案。下面组织解题过程： 解：(1)设当|xi-xj|<=1,(1<=i<j<=5)时，S取得最大值. 若不成立，不妨设存在x1, x2，且x1-x2>=2，此时S=S'最大【这里的x1,x2是x1,x2,x3,x4,x5中的任意两个】 令x1'=x1-1, x2'=x2+1，则x1'+x2'=x1+x2, 此时x1'和x2'之间的距离变小了，而仍有x1’+x2'+x3+x4+x5=2006】 且x1'x2'=(x1-1)(x2+1)=x1x2+x1-x2-1>x1x2, 【这一步说明任意两个x1,x2，进行一次调整，使x1-1, x2+1后，结果S变小，这是解第(2)小题的依据】 即S'不是最大值，矛盾！ 所以当|xi-xj|<=1,(1<=i<j<=5)，即x1=402, x2=x3=x4=x5=401时，S最大. 【即有一个是402，其它都是401】 (2)依题意，一共有下面三种可能：【用列举法解决问题】 I. x1=402, x2=x3=x4=x5=401，【由(1)知，此时S取得最大值】 II. x1=x2=402，x3=x4=401, x5=400; III.x1=x2=x3=402, x4=x5=400. 【很明显的，不可能有四个数等于402，也不可能有一个数等于403，否则将出现|xi-xj|>2的情况，与(2)的条件矛盾】 由(1)知I时S最大. 此后每调整一次xi-1, xj+1，S都会变小.【这一点非常重要，如果上面三种，或者后两种情况要代入S的式子检验比较，运算量会很大】 而II在I的基础上调整了一次，III在I的基础上调整了两次. 所以，当x1=x2=x3=402, x4=x5=400时, S最小. 【即有三个402和两个400】 怎么样？这道题烧不烧脑呢？ |
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