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这是中考数学压轴题抛物线类型题中非常常见的一种，求抛物线上平行四边形是否存在的问题。多练几次，你会发现，这种题型特别好解决，而且它是有解题的套路的。老黄前面已经介绍过一两道了，下面又是一道这样的类型题，再练一练，中考遇到了，答案就是信手拈来的了。题目是这样的： 如图,在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A,C分别在x轴,y轴的正半轴，且OA=4，OC=3，假设抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交BE于点F，点D，E的坐标分别为(3,0),(0,1). (1)求抛物线的解析式； (2)猜测△EDB的形状并加以证明； (3)点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上，请问是否存在以点A，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？假设存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；假设不存在，请说明理由.  分析：(1)求抛物线解析式的一般方法，是用待定系数法，设函数的解析式，然后列方程或方程组，通过求方程的解，来确定函数的系数。从而得到抛物线解析式。重点在于所设的解析式将决定求解的速度。这里老黄利用抛物线的对称轴x=2和最大值y=3，设成顶点式的形式，是最简便，最省时的。 (2)猜想这个三角形是等腰直角三角形，可以通过证明直角三角形OED全等于直角三角形ABD，几乎一步到位。 (3)分析平行四边形的存在性，一般是分成“AF是对角线”和“AF是边”两种情形来分析的，但通过作图分析之后，可以发现，按M点在A点的左侧或右侧来分类讨论，会更加简便。 其它解释内容，将写在解题过程的每个步骤后面的【】中。 解：(1)依题意，可设抛物线解析式为：y=a(x-2)^2+3, 代入(0,0)，得4a+3=0, 解得：a=-3/4, ∴抛物线解析式为：y=-3(x-2)^2/4+3=-3x^2/4+3x. (2)△EDB是等腰直角三角形, 理由如下： ∵OE=DA=1，OD=AB=3， ∴Rt△ODE≌Rt△ABD(SAS). 【不要质疑条件不够，因为还有一对直角】 ∴DE=DB, ∠BDE=180⁰-∠ODE-∠ADB=180⁰-∠ODE-∠OED=90⁰. 即△EDB是等腰直角三角形. 【这里相当于利用了“一线三直角”的全等三角形判定的逆过程】 (3)可设M(m, -3m^2/4+3m), m>2. 【这里不需要设N点的坐标，因为N点只要存在就可以，下面并不需要用到它的坐标】 (OE+AB)/2=2, ∴F(2,2), 【这里利用了梯形的中位线=(上底+下底)/2，瞧，这种小学知识，也可以在中考中发挥很大的作用，否则就必须求直线BE的解析式，再求F点的坐标了】 当m<4时，-3m^2/4+3m=2, 【这是M点的纵坐标等于F点的纵坐标。只要满足这个条件，就有MF//AN，而使AN=MF的点N是一定存在的，所以不需要考虑其它条件。】 ∴m=(6+2根号3)/3.【不符合题意的解m=(6-2根号3)/3被舍去了】 【这种情形下，符合条件的平行四边形其实是有两个的，一个以AF为对角线，一个以AF为边的，如下图：】  当m>4时，-3m^2/4+3m=-2,【这是M点的纵坐标和F点的纵坐标相反。只要满足这个条件，就必然存在N点，使MN//AF，且MN=AF，从而所求的平行四边形存在】  ∴m=(6+2根号15)/3.【不符合题意的解m=(6-2根号15)/3被舍去了】 综上, M((6+2根号3)/3,2)或((6+2根号15)/3,-2). 如果您对这道题的解法有什么看法，欢迎在评论区中留下您宝贵的意见，一起探讨一下。 |
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