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这是一道中考数学压轴题，与二次函数图像以及三角形面积的最大值有关。这类题型是很常见的，一般解法虽然不难，但是比较繁琐，还是比较讨人厌的一类题目。今天老黄准备剑走偏锋，不按套路出牌，巧妙地把它解决掉。题目是这样的： 如图，二次函数y=ax^2+bx+4的图像与x轴交于点B(-2,0), 点C(8,0), 与y轴交于点A. (1)求二次函数y=ax^2+bx+4的表达式； (2)连接AC, AB, 假设点N在线段BC上运动(不与点B,C重合)，过点N作NM//AC, 交AB于点M，当△AMN的面积最大时，求N点的坐标； (3)连接OM, 在(2)的结论下，求OM与AC的数量关系.  分析：(1)第一小题是例行公事的送分题，可以将B，C两点的坐标代入解析式，列方程组求参数a,b的值。也可以利用韦达定理解决。这里选择后者，因为解起来比较简便。 (2)不论如何，第二小题都要先设N点的坐标。一般的思路是设OA交MN于点D，然后通过MN的解析式，写出D点的坐标和M点的坐标关于N点的横坐标的表达式。就可以利用M，N的横坐标差乘以AD的二分之一，表示三角形AMN的面积，从而列得关于N点的横坐标的二次函数，就可以求得三角形AMN的面积最大时，N的横坐标，从而得到N点的坐标。 为此，我们还要表示出AB和AC的解析式。并且利用MN与AC平行，以及N点的坐标，表示出MN的解析式，然后求AB和MN的交点的坐标，就是点M的坐标。而D点的坐标则可以由MN的解析式直接得到。不管怎么说，这个方法还是相当繁琐的。下面老黄介绍一种利用三角形的面积关系的解法。 显然，三角形ABN的面积和三角形ABC的面积比等于BN与BC的比，其中BC和三角形ABC的面积都可求，而BN可以表示为关于点N的横坐标的式子。从而得到三角形ABN的面积的表达式。 而三角形AMN的面积和三角形ABN的面积比又等于AM与AB的比，从而等于CN与AB的比，这样就可以得到三角形AMN的面积的表达式。因此问题也能得到解决。这个方法显然就要简便得多。 (3)第三小题也是难得的送分题。很明显的N点是BC的中点，所以M点也是AB的中点。OM就是直角三角形AOB斜边的中线，等于斜边AB的一半。而AB和AC都是可求的，求得AB等于AC的一半，因此OM就是AC的四分之一。 下面组织解题过程： 解：(1)依题意，方程ax^2+bx+4=0有解x1=-2,x2=8, 由x1x2=4/a=-2×8=-16, 得a=-1/4, 又由x1+x2=-b/a=-2+8=6, 得b=-6a=3/2, ∴二次函数的表达式为：y=-x^2/4+3x/2+4. (2)设n(x,0), 则BN=x+2, CN=8-x, S△ABC=AO·BC/2=20. ∵S△ABN/S△ABC=BN/BC=(x+2)/10, ∴S△ABN=2(x+2), 又S△AMN/S△ABN=AM/AB=CN/BC=(8-x)/10, ∴S△AMN=(x+2)(8-x)/5=(-x2+6x+16)/5, 当x=3，即N(3,0)时，S△AMN=最大. (3)N(3,0)是BC的中点，MN//AC, ∴OM=AB/2. 又AB=根号内(OA^2+OB^2)=2根号5, AC=根号内(OA^2+OC^2)=4根号5, ∴AB=AC/2,∴OM=AB/4. 您觉得这个解法怎么样？请在评论区中留下您的看法！ |
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