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题目： 抛物线y=x^2+bx+c经过点A（－1，0），B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D。 1、求抛物线的解析式，及点D的坐标； 2、连接AC，CD，BD，BC，设△AOC、△BOC和△BCD的面积为S1、S2和S3，用等式表示S1、S2和S3之间的数量关系，并说明理由； 3、点M时线段AB上动点（与A，B不重合），过点M作MN∥BC，与AC交于点N。连接MC。是否存在点M，使得∠AMN=∠ACM？若存在，求解此时M点坐标和直线MN的解析式；若不存在，请说明理由。 分析： 跟着问题找条件 题目1：抛物线解析式包含2个未知数，代入A，B坐标即可求解。计算得解析式为y=x^2－2x－3。对称轴为x=1，顶点D坐标为（1，－4）。 题目2：S1、S2和S3分别如何表达？ 如图，不难发现△AOC、△BOC均为直角三角形，且C的坐标易得，为（0，－3），所以S1=OA×OC/2，S2=OB×OC/2。但是，S3如何表达？ S3=？ 思路一：挖掘△BCD的性质，或 思路二：用已知图形面积表达S3 两种思路，分别表述如下。 思路一：首先判断△BCD是否特殊三角形 作DE⊥x轴，垂足为E。 ∵ D为抛物线顶点 ∴ DE即为对称轴，E坐标（1，0） 根据勾股定理，BC^2=18，BD^2=20，CD^2=2，所以△BCD是直角三角形，从而S3=BC×CD/2。分别代入线段长，计算可得S1=1.5，S2=4.5，S3=3，可得3个面积的关系式为S2=S1+S3。 如果△BCD是普通三角形，S3怎么求？ ①选定一个顶点，作高，记垂足为H； ②计算对边的斜率，则高所在的直线斜率可得，由此得到高所在直线的解析式； ③求解H的坐标，利用距离公式计算出高的值； ④利用距离公式，计算对边长度。由此S3可得。 思路二：△BCD面积=四边形BOCD面积－△BOC面积 新问题：四边形BOCD面积=？ 不难发现，四边形BOCD面积=直角梯形EOCD面积+Rt△BED面积。这2个图形的面积易得，不再赘述。由此，可得S3。 题目3：如果不考虑合理性，是否存在M使得∠AMN=∠ACM？ 存在。 ∵ MN∥BC ∴ ∠AMN=∠OBC=45度=∠ACM 那么，过点C作与AC夹角为45度的直线，与x轴交点记为M。此时由于∠OCM＜45度=∠OCB，所以M必定位于O、B之间。然后，再作MN∥BC，则MN与AC的交点N必然在AC上。这样得到∠AMN=45度=∠ACM，所以M是存在的。 新问题：OM=？画出草图如下 OM放入三角形，通过三角形相似或全等求解 思路一：直接求解OM OM仅存在于△OMC中，有可能与之相似或全等的已知三角形有△EBD和△OAC，先挖掘△EBD（原因在回顾中详述）。 ①因为△OMC和△EBD都是直角三角形，只需一对内角相等，即相似。 ②如果MC∥BD，则∠OMC=∠EBD，从而△OMC和△EBD相似； ③如果∠MCB=∠CBD，则MC∥BD。 ∵ ∠OBC=45度=∠OCB，∠ACM=∠AMN=OBC ∴ ∠ACM=∠OCB ∴ ∠ACO=∠MCB ∵ tan∠ACO=1/3，tan ∠CBD=1/3 ∴ ∠MCB=∠CBD 这样，可得△OMC∽△EBD，于是OM/EB=OC/ED=3/4，计算得OM=3/2。 新问题：直线MN解析式？ 由于∠AMN=45度，所以MN与y轴交点坐标为（0，－3/2），从而可得直线MN的解析式为y=x－3/2。 思路二：求解AM或BM 因为AO和OB都是已知定值，所以求解AM或BM也可以。 AM位于△AMN和△ACM中，而∠AMN=∠ACM，∠MAN=∠MAC是公共角，很容易可以得到△AMN∽△ACM。于是AC/AM=AM/AN=CM/MN，其中AM=AO+OM，CM^2=OM^2+OC^2。 但是，AN和MN等于多少？ 这里，可以有2种途径求解： ①挖掘与AN或MN相关的三角形： ∵ MN∥BC ∴ △AMN∽△ABC ∴ AM/AB=AN/AC=MN/BC 这样得到两个关于AM、AN或AM、MN的式子，可以解除AM、AN和MN。 ②直解求解N的坐标，用M坐标表达，利用距离公式得到MN和AN的表达式。 ∵ MN∥BC ∴ 直线MN的表达式可得（含M横坐标） ∵ 直线AC解析式可得 ∴ AC与MN的交点N坐标可得（含M横坐标） 这样可以得到AN和MN的表达式，代入AC/AM=AM/AN=CM/MN可得AM。 解题： 1、将A，B坐标代入抛物线解析式，可得
于是，b=－2，c=－3，抛物线解析式为y=x^2－2x－3。对称轴为x=1，顶点D坐标为（1，－4）。 2、作CE垂直于x轴，E为交点。显然，DE为抛物线对称轴，E坐标（1，0）。利用抛物线解析式，可得C（0，－3）。所以
∴ S1+S3=S2 3、这样的点M存在。过点C作与AC夹角为45度的直线（在AC右侧），与x轴交点记为M。 ∵ ∠OCB=∠OBC=45度 ∴ 易知M位于O、C之间，且与C不重合。 过M作直线MN∥BC，与AC交于点N。 ∵ ∠OBC=45度=∠OCB，∠ACM=∠AMN=OBC ∴ ∠ACM=∠OCB ∴ ∠ACO=∠MCB ∵ tan∠ACO=1/3，tan ∠CBD=1/3 ∴ ∠MCB=∠CBD 又，∠COM=∠DEB=90度 ∴ △OMC∽△EBD ∴ OM/EB=OC/ED=3/4 计算得OM=3/2，M坐标为（0，3/2）。由于∠AMN=45度，所以MN与y轴交点坐标为（0，－3/2），从而可得直线MN的解析式为y=x－3/2。 回顾： 1、手别懒，利用1分钟画出尽量精确的草图。当你面临多个选择时，精确的草图可以帮助你“猜”出正确的选择。比如在本题中，我们首先考虑 △OMC∽△EBD，基本排除了△OCA，就是通过草图目测。 2、当遇到判断“解是否存在”，要善用反证法。先假设解是存在的，然后倒推解存在的条件。倒推的结果有2种：
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