数学培优(8)，二次函数综合题，解题思路全分析

经典培优题

如图，已知抛物线y=x²+bx+c的图象与x轴的一个交点为B(5，0)，另一个交点为A，且与y轴交于点C(0，5）.

⑴ 求直线BC与抛物线的解析式；

⑵ 若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN//y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；

⑶ 在⑵的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标。

[解答]

⑴设直线BC的解析式为y=mⅹ+n，

将B(5，0)，C(0，5)两点的坐标代入，得

5m+n=0，n=5.

解得:m=-1，n=5

所以直线BC的解析式为y=-x+5；

将B(5，0)，C(0，5)两点的坐标代入

y=x²+bx+c,得

25+5b+c=0，c=5，解得:b=-6，c=5

所以抛物线的解析式为y=x²-6x+5；

⑵设M(x，x²-6x+5)(1<><>

N(x,-x+5)，

∵MN=(-x+5)-(ⅹ²-6ⅹ+5)

=-x²+5x

=-(ⅹ-5/2)²+25/4

∴当x=5/2时，MN有最大值25/4.

⑶∵MN取得最大值时，x=2.5，

∴-x+5=-2.5+5=2.5,即N(2.5，2.5).

解方程x²-6x+5=0,得x=1或5，

解方程x²-6x+5=0,得x=1或5，

∴A(1，0),B(5，0)，

∴△ABN的面积S2=1/2×4×2.5=5，

∴平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30.

设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD,则BC丄BD。

∴BC=5√2,

∴BC·BD=30，

∴BD=3√2.

过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交ⅹ轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形。

∵BC丄BD,∠OBC=45°，

∴∠EBD=45°，

∴△EBD为等腰直角三角形，BE=√2BD=6,

∵B(5，0)，

∴E(-1，0)，

设直线PQ的解析式为y=-x+t，

将E(-1，0）代入，得1+t=0，解得t=-1.

∴直线PQ的解析式为y=-x-1.

解方程组

y=-x-1，y=ⅹ²-6x+5.得

x1=2，y1=-3.x2=3，y2=-4

∴点P的坐标为P1(2，-3）(与点D重合)或P2(3，-4).

[解析]

⑴设直线BC的解析式为y=mx+n，将B(5，0)，C(0，5)两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线BC的解析式；同理，将B(5，0），C(0，5)两点的坐标代入y=x²+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

⑵ MN的长是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于MN的长和M点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN的最大值；

⑶ 先求出△ABN的面积S2=5，则S1=6S2=30.再设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，根据平行四边形的面积公式得出BD=3√2，过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形.证明△EBD为等腰直角三角形，则BE=√2BD=6，求出E的坐标为(-1，0)，运用待定系数法求出直线PQ的解析式为y=-x-1，然后解方程组y=-ⅹ-1，y=x²-6x+5

即可求出点P的坐标。

知识点清单：

【二次函数的定义】

一般地，如果y=ax²+bx+c(a,b,c是常数且a≠0），那么y叫做x的二次函数.

【几种特殊的二次函数图象特征】

【常用公式】

顶点计算公式：(-b/2a，4ac-b²/4a)，对称轴:

x=-b/2a。

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