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这是一道关于不等式的高考数学真题，这道题必须借助数轴，才能比较简便地解决。用一般的方法，将会特别繁琐。题目是这样的： 已知函数f(x)=|x-a|+|x+3|. (1)当a=1时，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若f(x)>-a, 求a的取值范围. 分析：(1)这类题型最普通的方法就是分情况讨论。比如第一小题，就适合分情况讨论，虽然借助数轴也能比较简便解决，但用一般方法也不麻烦。 因为当a=1时，原函数可以写成分段函数的形式。就是根据x在不同的取值范围内，绝对值内式子的符号性质，去绝对值符号。当x不大于-3时，两个式子都非正的，所以去绝对值符号后，都要取相反数。当x在-3到1之间时，前面的式子是负数，去绝对值符号后要取相反数，后面的式子是正数，可以直接去掉绝对值符号。化简发现，这种情形下，函数f是常量函数4，其实这也是函数的最小值。而当x不小于1时，两个式子都非负，因此直接去掉绝对值符号。  虽然，中间这段函数是不可能不小于6的。只有两侧函数有可能不小于6。如果左侧函数不小于6，则解得x不大于-4；如果右侧函数不小于6，则解得x不小于2。从而得到不等式的解集。把解集在数轴上表示出来。你能说出函数f(x)的几何意义吗？  其实f(x)就是数轴上一点，到1和-3的距离和。因此当x在-3和1之间时，这个距离和最小，等于-3和1之间的距离，也就等于4. 而在-3左侧，离-3越远，到两点的距离和越大。同理，在1的右侧时，离1越远，到两点的距离和也越大。只有在-4和2的点上，两个距离和等于6，超过-4越左，和超过2越右，距离和就会越大于6. 老黄之所以要分析这些，就是为第二小题做准备的。 (2)第二小题如果要按第一小题的解法，分情况讨论，不仅有六种情形之多，而且其中的不等式关系会相当复杂。有兴趣也可以自己试试看。如果利用数轴，根据f(x)的几何意义来解，就要轻松得多了。当然，这里也要用到一点分情况讨论的方法。 就是在a不小于0时，可以知道f(x)是恒大于-a。因为这个时候-a表示非正数，而f(x)是正数，甚至不存在f(x)=0的情形，因为当a不小于0时，两个绝对值不可能同时等于0. 所以不等式f(x)>-a恒成立 又f(x)的最小值是-3和a的距离，表示为|-3-a|或|a+3|。当a<0时，想要满足f(x)>-a恒成立, 就必须满足f(x)的最小值大于-a，这是f(x)>-a恒成立的充要条件。这时不等式两边|-3-a|>-a都是非负数，其实都是正数。解这个不等式就两边同时平方，然后移项合并同类项，从而解得a>-1.5，与a不小于0取并集，就得到a的取值范围了a∈(-1.5,+∞).  在数轴上，我们可以发现，当a小于0时，-a在这里表示a到原点的距离。如果a在-3的左边，这个距离不会恒小于函数f(x)。  就算a在-3的右边，f(x)也不一定大于-a。只有当a在0和-3之间，靠近0时，即a在0和-3的中点的右侧时，f(x)的最小值才会大于-a，从而保证f(x)恒大于-a。下面组织解题过程： 解：(1)当a=1时，f(x)={-2x-2, x<=-3; 4, -3<x<1; 2x+2, x>=1} 若-2x-2≥6时, x≤-4； 若2x+2≥6时, x≥2, ∴x∈(-∞,-4]U[2,+∞). (2)当a≥0时, f(x)>-a恒成立, 又f(x)≥|-3-a|, 当a<0时，解不等式|-3-a|>-a, 得a>-1.5, ∴a∈(-1.5,+∞). 你有更好的办法吗？如果有，请不吝分享出来！ |
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