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俄罗斯的军工业非常强，并不是其强大的经济实力，而是俄罗斯有世界上最好的数学家．在70年代左右，苏联最好的数学系之一莫斯科大学数学系因为招生的时候其歧视犹太人，所以在招生考试的时候会单独给犹太人出难题，而这类题目的目的不在于测试学生的数学水平，而纯粹是为了让犹太学生无法考上莫斯科大学．而这些数学问题被称为＂棺材＂，非常有趣的名字． 当然，这些题目是严格保密的，直到最近一些年当年参与考试的一些犹太学生开始惧当年的被称之为棺材的题目，由于种族歧视而设立的入学测试题终被曝光．下面我来一睹题目的光彩吧：
分析：这是相对简单的一道题．表面看，它就是一个不等式．然而，你的解答时，就会发现太难解了．感兴趣的小伙伴们可以试着解答一下，看看能否顺利解答．
编辑搜图 这种表面看起来简单的题，其实技巧性非常强，直接硬解是无法深入下去的，作为测试题明显过于繁琐！
编辑搜图 请点击输入图片描述 分析：解一个方程，当然，化简是核心问题．化简过程中会遇到各种阻碍，同学们可以继续尝试下去．
编辑搜图 请点击输入图片描述 3.给定三角形 ABC ，用尺规作图找出 AB 上的一点 K 以及 BC 上的一点 M ，使得 AK = KM = MC
编辑搜图 请点击输入图片描述 评：题设不难，但要解答出来真不知道如何动笔了，这样的题目有够刁钻！我们看一下以下的解答吧，领略一下神题的答案．
编辑搜图 请点击输入图片描述 答案：先在 BC 上任取一个点 M’ ，然后用圆规截取 AD = CM’ 。过 D 作 AC 的平行线，以 M’ 为圆心 M’C 为半径作圆，与这条平行线交于点 K’ 。过 K’ 作 AB 的平行线。 容易看出，此时 A’K’ = K’M’ = M’C ，并且三角形 A’B’C 与整个大三角形 ABC 是相似的。如果以 C 为中心将 A’B’C 放大到 ABC ，就可以得到满足要求的 K 点和 M 点了。 因此，我们延长 CK’ ，并把它与 AB 的交点记为点 K ，这个点 K 就是要求的点。既然 AK 的长度知道了， M 点的位置也就确定了。 4.给定平面上的一个点 M 以及一个角 XOY 。用尺规作图确定出一条过 M 的直线，使得它与这个角的两边围成的三角形周长为一个给定值 p 。
编辑搜图 请点击输入图片描述 分析：此题同样题设异常简单，一般初中生都能够看懂，但要具体的作图方法，可不是一个普通初中生可以搞定的．继续看看答案如何：
编辑搜图 请点击输入图片描述 答案：在角的两边上分别作出 A 、 B 两点，使得 AO = BO = p / 2 。过 A 、 B 两点分别作所在直线的垂线，两垂线交于点 C 。不难看出， AC 和 BC 的长度相等。 事实上，如果以 C 为圆心作一个经过 A 、 B 的圆，这个圆将正好和角 XOY 的两边切于 A 、 B 两点。 现在，过 M 作这个圆的切线，将切点记为 T 。只需要注意到 PT = PA ，并且 QT = QB ，因此三角形 OPQ 的周长就等于 AO + BO ，也就是 p 。 补充一下切线的作法：以 MC 为直径作圆，与圆 C 交于点 T 。于是 ∠CTM 是一个直角，因而 MT 就是切线。 5.给定一个等边三角形 ABC ，以及三角形内的一个点 O ，满足 ∠AOC = x ， ∠BOC = y 。如果用线段 AO 、 BO 、 CO 组成一个三角形，它的各个内角是多少（用 x 和 y 来表示）？
编辑搜图 请点击输入图片描述 分析：此题在现在的初中算是非常熟悉的题目，利用旋转的方法可以解答出来． 答案：将整个三角形绕着点 A 顺时针旋转 60 度，把 B 和 O 的落点分别记作 B’ 和 O’ 。这样的话， ∠AO’B 和 ∠BO’B’ 的角度也是 x 和 y ，并且 CO = BO’ 。
编辑搜图 请点击输入图片描述 另外，由于 AO 与 AO’ 长度相等且夹角为 60 度，因此三角形 AOO’ 是等边三角形， AO = OO’ 。 因此，三角形 BOO’ 的三边长度实际上就分别等于 AO 、 BO 、 CO 。根据已知条件很容易算出它的三个内角度数，它们分别是 x – 60° 、 y – 60° 和 300° – x – y 。 6.给定平面上的两条相交直线。到这两条直线的距离和等于某个给定值 p 的所有点将组成一个什么样的图形？ 分析：字都认识，也知道在说啥，但就是不会做！
编辑搜图 请点击输入图片描述 答案：一个矩形。假设有一个等腰三角形 ABC ，底边 BC 上有一个动点 P 。把三角形腰长记为 l ，把 P 到两腰的距离分别记作 PM 和 PN 。线段 AP 将三角形 ABC 分成了左右两个小三角形，它们的面积和 (l · PM) / 2 + (l · PN) / 2 = l · (PM + PN) / 2 是一个定值（即整个三角形的面积），因此 PM + PN 也是一个定值。这个定值就是等腰三角形腰上的高。 7.能否在平面上放置六个点，使得任意两点之间的距离都是整数，并且任意三点不共线？ 答案：可以。我们先专心构造出任意两点之间的距离都是有理数的点集，再把所有点的坐标都扩大一个相同的倍数即可。把三边长分别为 3 、 4 、 5 的经典直角三角形放在平面直角坐标系上，斜边放在 x 轴上，斜边的中点和原点重合。那么，斜边上的高 CH 一定是有理数，因为由面积法可知它等于 AC · BC / AB 。另外，由于 △AHC 、 △BHC 、 △ABC 都是相似的，它们都是 3 : 4 : 5 的三角形，可知 AH 、 BH 也都是有理数。另外， C 到原点 O 的距离也是有理数，因为它是直角三角形斜边上的中线，它等于斜边长度的一半。
编辑搜图 请点击输入图片描述 现在，把 C 沿着 x 轴翻折到 C’ ，再把 C 和 C’ 分别沿 y 轴翻折到 D 和 D’ 。于是 A 、 B 、 C 、 C’ 、 D 、 D’ 就是满足要求的六个点。为了去掉分母，我们需要把它们的坐标都扩大到原来的 10 倍，于是得到一个答案：(±25, 0) 以及 (±7, ±24) 。 事实上，我们有办法构造出平面上任意多个点，使得它们两两之间距离都为整数，同时任意三点都不共线。 8.给出 AB 、 BC 、 CD 、 DA 四条边的长度，以及 AB 和 CD 两边中点的连线长度，用尺规作图还原出四边形 ABCD 来。 答案：让我们先来看一个简单的问题：已知三角形其中两边的长以及第三边上的中线，如何用尺规作图还原出这个三角形来？我们可以先倍长中线 AD 到 E ，容易看出 BE 和 AC 平行且相等。我们已经知道 AB 、 BE 和 AE 的长度（ AE 的长度就是两倍的 AD ），便能确定出三角形 ABE 来。然后，截取 AE 的一半 AD ，再把 BE 平移到 AC ，就得到要求的三角形 ABC 了。
编辑搜图 请点击输入图片描述 回到原问题。将 AB 的中点记为 E 。把 AD 和 BC 分别平移到 ED’ 和 EC’ 。于是， CC’ 和 DD’ 是平行且相等的（它们都平行且等于 AB 的一半），如果把 C’D’ 和 CD 的交点记作 F ，那么 △CC’F 和 △DD’F 是全等的， F 既是 CD 的中点，又是 C’D’ 的中点。由于我们知道 EC’ 、 EF 、 ED’ 的长度，用刚才的方法我们就能画出三角形 EC’D’ 了。 9.给定线段 AB ，再预先给定一条与 AB 平行的直线。只用直尺作图，将线段 AB 六等分。
编辑搜图 请点击输入图片描述 答案：在平行线上任取 C 、 D 两点。我们可以用如下方法找出 CD 的中点：先在平面上取一个点 E ，然后依次作出 F 、 G 、 H 、 I 各点，那么 I 就是 CD 的中点。
编辑搜图 请点击输入图片描述 现在，对 CD 上的每一个小线段继续平分下去，直到把 CD 分为八等分。用下图的方法把 AB 分为六等分。 10.给定正方形各边上的一个点。用尺规作图恢复出这个正方形来。
编辑搜图 请点击输入图片描述 答案：假设 A 、 B 、 C 、 D 依次是正方形四条边上的点。过 B 作 AC 的垂线，截取 BD’ = AC 。那么， D’ 也在正方形上， D 和 D’ 的连线就是正方形的其中一条边。剩下的事情就简单了。 |
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