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承 诺 书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 企业退休职工养老金制度的改革 摘要： 本文研究的是企业退休职工养老金制度的改革问题，通过对问题背景及附件资料进行深入的分析，采用数据拟合、求平均值、图表等方法建立了相应的数学模型，得出各个问题较合理的结果。 对于问题一，先对未来中国经济发展和工资增长采取了经济预测，再采用多项式拟合的方法预测出从2011到2035年山东省的年平均工资（见表一）。 对于问题二，在已知的基础上，结合问题一的结论和附件2可以求出2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比（见表三），又根据职工缴费指数的参考值和养老金的计算办法，考虑某职工自2000年起分别从30岁，40岁开始缴养老保险，一直到退休（55岁，60岁，65岁），建立了模型一，根据模型一计算出在这6种不同的情况下的养老金的替代率为25.56%、30.67%、34.92%、15.36%、20.45%、25.60%。 对于问题三，是在问题二的基础上，可以得出该职工30～55岁、30～60岁、30～65岁各年龄段缴纳的总金额分别为155940元、287268元、509676元； 再得出该职工从退休到75岁死亡，这段时间内每年领取的养老保险金额分别为 ：11004元、24804元、60552元； 最后得该职工缴存的养老保险金与领取的养老保险金的差额（见表五、六、七）； 对于问题四，是在深入分析前三个问题的基础，给出了提 高养老金增值率、采用多层次的企业养老统筹体系、深化改革等方案措施来实现既要达到目标替代率又要实现收支平衡的目的 经检验，各问题解决的结果较合理，所采取的错施对我国企业退休职工养老金制度的改革有一定的促进作用。 一、问题重述1.1基本情况： 养老金也称退休金，是一种根据劳动者对社会所作贡献及其所具备享受养老保险的资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。 我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。这两个账户我们合称为养老保险基金。退休后，按职工在职期间每月（或年）的缴费工资与社会平均工资之比（缴费指数），再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出资金（基础养老金），加上个人工资账户中一定比例的资金（个人账户养老金），作为退休后每个月的养老金。养老金会随着社会平均工资的调整而调整。如果职工死亡，社会统筹账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为3%。 养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系；工资的增长又与经济增长相关。近30年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家的经济和工资增长率都较低。我国经济发展的战略目标，是要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。 现在我国养老保险改革正处于过渡期。养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%. 替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。 附件1是山东省职工历年平均工资数据；附件2是2009年山东省某企业各年龄段职工的工资分布情况，附件3是养老金的计算办法。 1.2需解决的问题: 问题一：对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设，并参考附件1，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。 问题二：根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。 问题三：假设该企业某职工自 2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。 问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。请给出你的理由。、 二、问题分析 2.1问题一的分析： 我们对未来中国经济的发展和工资的增长的形式采取经济预测的形式，经济预测是在对一定时期的客观经济活动过程进行深入调查的基础上，运用各种科学的方法，对掌握的经济信息加以分析研究后，所写出的评估和预测未来经济活动发展状况及变化趋势的结果。它是与未来有关的旨在减少不确定性对经济活动影响的一种经济分析。它是对将来经济发展的科学认识活动。经济预测不是靠经验、凭直觉的预言或猜测，而是以科学的理论和方法、可靠的资料、精密的计算及对客观规律性的认识所作出的分析和判断。这样的预测是一种分析的程序，它可以重复地连续进行下去。目的是为未来问题的经济决策服务。为了提高决策的正确性，需要由预测提供有关未来的情报，使决策者增加对未来的了解，把不确定性或无知程度降到最低限度，并有可能从各种备选方案中作出最优决策。根据附件一，我们采用多项式拟合的方法（如图一）建立模型一，预测出从2001年至2035年的山东省职工的年平均工资。 2.2问题二的分析： 问题二是在问题一的基础上提出的，结合养老金计算公式，附件二中的数据，得出该企业自2000年从30岁缴纳保险金到退休（55岁，60岁，65岁）这三个年龄段退休时的养老金替代率。 2.3问题三的分析： 问题三是在问题二的基础上将问题再次深化，预测某职工30岁到退休（55、60、65），到75岁死亡时养老金收支平衡状况，主要个人账户养老金储存及领取方法，计算出三个不同退役年龄段到死亡是缴、领基金的差额，从而预测出不同阶段下养老金收支平衡状况。 2.4问题四的分析： 问题四是在前三个题得基础上要求给出既要达到目标替代率又要现实养老保险收支平衡的措施，其主要采用快、稳、缓三步方针来解决此问题。 三、问题假设 １．假设交保险费和养老费的时间分别为每月初和月末； ２．假设预期寿命时间即为领取养老金的最后月份； ３．银行的月利率不随时间的变化而变化； ４. 假设计算出来的平均工资与实际的平均值比较吻合，其误差在允许的范围之内。 四、建立模型及求解 （一）符号说明：
M————代表每年领取养老金后个人账户养老金余额
（二）模型建立及求解 3.1 对问题的求解 经查阅资料我们知道中国未来经济发展随着经济全球化的影响，我国的经济呈多元化发展格局，经济不断持续增长，但由于我国基本养老保险体制建立较晚与西方发达国际相比存在很多制度上的缺陷，比如：高替代率、高赡养率造成了基本养老保险的支出负担偏重；养老保险体制转轨带来沉重的转轨成本等。另外，我国特有的社会经济体制下形成了退休年龄早、欠发达的金融市场下养老保险投资收益率低等问题，再加上老龄化社会的冲击，使得我国的基本养老保险平衡问题日益严峻。针对这一现状，本文从以下几方面提出对策建议，期望随着我国养老保险制度的发展，推进我国基本老保险平衡的实现。 再由附件1： 山东省职工历年平均工资统计表：
根据此附件，，我们运用多项式拟合的方法，对山东省职工1978至2010年的平均工资进行拟合（如图一）。 图一
由此图可得,山东省年平均工资的公式为： 表一:
3.2对问题二的求解： 该问题可以分解为两个问题进行综合求解，这两个问题分别是：2009年该企业各年龄阶段职工工资与该企业平均工资之比和计算该企业各种情况下的养老金替代率。 首先解决第一个问题，在已知的基础之上，通过对问题二的分析并结合问题一的结论，可对问题二进行求解。 3.2-1 平均工资之比 首先，题目中已给出山东省某企业各年龄段工资分布表（如下）：
由于此表给出的是各年龄段月收入的范围，没有给出确切的月收入金额，所 以得求取各年龄段的平均工资，根据附表2：2009年山东省该企业各年龄段职工工资可以求出20～24年龄阶段的平均工资为 Min
(1000 =1476.9504 Max
(1499 =1975.9504 则该企业工资的取值范围在1476.9504元～1975.9504元之间，平均工资为1726元。 同理可以得到其它年龄段的平均工资（如表二，单位：元） 表二
由此还可得该企业平均工资为2580元，则2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比为表三： 表三
其次解决第二个问题，根据职工缴费指数的参考值和养老金的计算办法，考虑某职工自2000年起分别从30岁，40岁开始缴养老保险，一直到退休（55岁，60岁，65岁），建立了模型一，根据模型一计算出在各种不同的情况下的养老金的替代率。 3.2-2 养老金的替代率 （1）根据养老金的计算办法和养老金的替代率得出模型一：
模型求解： 我们从附件一：山东省平均工资统计表和附表二：2009年山东省某企业各年龄段工资分布表中认为2009年的企业的平均工资和历年的平均工资的比值与其他年份的比值都相同，再根据问题一中的表一我们就能够求出2000年到2035年在岗职工的月平均工资（表四） 表四
我们选用2009年各年龄段职工工资与企业平均工资之比的平均作为职工缴费指数值 即 有表四可以求出各个年龄段的职工月平均工资分别为5706、8595、12708、2441、3740、5705。 根据计发月数表将数据代入模型一，即可得出各年龄段的养老代替率分别为25.56%、30.67%、34.92%、15.36%、20.45%、25.60%。 3.3对问题三的求解： 该问题可以分解为三个问题进行综合求解，这三个问题分别是： （1）该职工30--55岁；30—60岁；30—65岁缴纳的养老保险总金额； （2）该职工从退休到75岁死亡，这段时间内每年领取的养老保险金额； （3）该职工缴存的养老保险金与领取的养老保险金的差额； 3.3-1问题一求解： 根据利息理论可知，职工每个人按一定比例缴费到个人账户，达到退休年龄 其中： 经分析已知条件得： 3.3-2问题二的求解 解决此问题需知该职工退休前缴纳的基金总额，各退休年龄段的领取养老金的计发月数。而该职工退休前缴纳的基金总额在上述问题中已解决（30～55岁、30～60岁、30～65岁各年龄段缴纳的总金额分别为155940元、287268元、509676元），再由附件三中的表知退休年龄段的领取养老金的计发月数。 附件表：个人账户养老金计发月数表
且有：个人账户养老金=个人账户储存额÷计发月数 由此可得
3.3-3问题三的求解 经分析知：每年领取养老金后的余额都有利息，为了计算简便，假设开始时总余额为A,领取养老金额为X，则就有 领取年份 领取金额 余额 1
X
(A-X)
2
X
((A-X)
3
X (((A-X) ┋ ┋ ┋ 以此类推余额公式 1.03 1.03 1.03 得出模型二为：
代入数据得到各退休年龄段该职工缴存的养老保险金与领取的养老保险金的额 （见下表四、表五、表六最后一列） 综上可得问题三的结果为：
表五：55—75岁缴纳及领取养老金的余额 由表五：55—75岁缴纳及领取养老金的余额可以看出55岁退休，在75岁死亡时的养老基金国家补贴了22907元，在72岁时缴纳的养老保险基金与其领取的养老保险基金之间达到收支平衡。 表六：60--75岁缴纳及领取养老金的余额
由表六：60—75岁缴纳及领取养老金的余额可以看出60岁退休，在75岁死亡时的养老基金国家补贴了27613元，在72岁时缴纳的养老保险基金与其领取的养老保险基金之间达到收支平衡。 表七：65--75岁缴纳及领取养老金的余额
由表七：65—75岁缴纳及领取养老金的余额可以看出65岁退休，在75岁死亡时的养老基金国家补贴了30024元，在73岁时缴纳的养老保险基金与其领取的养老保险基金之间达到收支平衡。 3.4对问题四的求解： 既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡采取的措施： （1）在工资货币化与大力发展补充养老保险的基础上， 逐步调整养老金替代率，以维持这一养老金制度的可持续发展，并切实保障退休人员的生活水平。 （2）提高养老基金的增值率。根据我国现行政策规定， 养老保险基金的80％用于购买国家特种定向债券和存入银行，这样风险较低，但同时降低了投保者未来受益水平，大大弱化了部分积累式的自我保障功能，甚至导制支付危机。因此，必须考虑在遵循安全性原则的同时，采取有效措施，逐步拓宽养老基金的投资渠道，提高养老基金投资的回报率。 （3）加快工资制度改革，为基金收入开源。作为发展中国家，我国居民的工资收入尚处在较低的水平，而这种缴费工资低局面使得基本养老保险基金的收入受到很大的限制。因此，加快工资制度改革，增加我国基本养老保险基金收入，势在必行。建议加快工资货币化进程，同时对工资外收入实行规范化劳动收入货币化，推行合理的、科学的年薪制和“计时计件”工资制薪酬制度，扩大养老保险费基。 (4)加快提高统筹层次。进一步加强省级基金预算管理，明确省、市、县各级人民政府的责任，建立健全省级基金调剂制度，加大基金调剂力度。在完善市级统筹的基础上，尽快提高统筹层次，实现省级统筹，为构建全国统一的劳动力市场和促进人员合理流动创造条件。 (5)发展企业年金。为建立多层次的养老保险体系，增强企业的人才竞争能力，更好地保障企业职工退休后的生活，具备条件的企业可为职工建立企业年金。企业年金基金实行完全积累，采取市场化的方式进行管理和运营。要切实做好企业年金基金监管工作，实现规范运作，切实维护企业和职工的利益。 (6)不断提高社会保险管理服务水平。要高度重视社会保险经办能力建设，加快社会保障信息服务网络建设步伐，建立高效运转的经办管理服务体系，把社会保险的政策落到实处。各级社会保险经办机构要完善管理制度，制定技术标准，规范业务流程，实现规范化、信息化和专业化管理。同时，要加强人员培训，提 高政治和业务素质，不断提高工作效率和服务质量 五 模型检验 1、问题一我们分别采用拟合多项式法与求平均增长率的方法，通过对比求平均增长率方法误差太大，而采用拟合多项式的方法进行求解，相对是比较合理的。 2、对于问题二，经过资料查出，目前中国的替代率约为60%，而代替率与国家的发展水平也有一定的相关性，越是发达国家的职工工资水平越高，相应的替代率也就越低，经过预测，我们预测到再过三、四十年的替代率大约为24%，这与中国经济的逐步发展是相联系，所以我们预测的替代率有一定的合理性。 3、对于问题三，我们计算出当职工从30岁开始缴养老保险，一直缴到55岁、60岁、65岁时开始领养老金，分别到73岁、73岁零11个月、74岁零6个月时其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。中国目前的女性平均寿命为73岁，男性平均寿命为70岁，则根据中国的平均寿命及在中国经济增长的条件下，国家对于个人缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间基本可以达到平衡。所以模型具有一定的可行性。 4、对于问题四，根据有关资料显示，国家已经制定相关的政策，我们的措施是合理的。 六、模型评价 （一）模型的优点： 1.建立的模型能与实际紧密相联系，综合实际情况对问题进行求解，使模型具有很好的通用性和推广性； 2.模型的计算采用专业的数学软件，可信度高； 3.对附件中的表格进行处理，找出了许多变量之间的潜在关系； 4.对模型中涉及的众多影响因素进行量化分析，使得论文有说服力。 （二）模型的缺点 1.在编程中没有加入题目中的约束条件，导致最终的运算结果出现小数，最后我们采用人工方法进行较好的弥补。 2、在企业预计的职工工资和平均工资时肯定会有出入，但在模型计算中，我们去的预计值做为近似值为计算，这与实际值有出入。 七、 参考文献 [1] 姜启源，谢金星，叶俊. 数学模型 (第三版) [M]. 北京: 高等教育出版社，2004年2月 [2] 唐焕文，贺明峰. 数学模型引论（第二版）. 北京：高等教育出版社，2002年5月 [3] 徐稼红. 从“养老金”问题谈起. 苏州大学数学系。 附录: >> 1.03^1*155940-11004*((1.03*(1-1.03^1))/(1-1.03)) ans = 1.4928e+005 >> 1.03^2*155940-11004*((1.03*(1-1.03^2))/(1-1.03)) ans = 1.4243e+005 >> 1.03^3*155940-11004*((1.03*(1-1.03^3))/(1-1.03)) ans = 1.3537e+005 >> 1.03^4*155940-11004*((1.03*(1-1.03^4))/(1-1.03)) ans = 1.2809e+005 >> 1.03^5*155940-11004*((1.03*(1-1.03^5))/(1-1.03)) ans = 1.2060e+005 >> 1.03^6*155940-11004*((1.03*(1-1.03^6))/(1-1.03)) ans = 1.1289e+005 >> 1.03^7*155940-11004*((1.03*(1-1.03^7))/(1-1.03)) ans = 1.0494e+005 >> 1.03^8*155940-11004*((1.03*(1-1.03^8))/(1-1.03)) ans = 9.6753e+004 >> 1.03^9*155940-11004*((1.03*(1-1.03^9))/(1-1.03)) ans = 8.8322e+004 >> 1.03^10*155940-11004*((1.03*(1-1.03^10))/(1-1.03)) ans = 7.9637e+004 >> 1.03^11*155940-11004*((1.03*(1-1.03^11))/(1-1.03)) ans = 7.0692e+004 >> 1.03^12*155940-11004*((1.03*(1-1.03^12))/(1-1.03)) ans = 6.1479e+004 >> 1.03^13*155940-11004*((1.03*(1-1.03^13))/(1-1.03)) ans = 5.1989e+004 >> 1.03^14*155940-11004*((1.03*(1-1.03^14))/(1-1.03)) ans = 4.2215e+004 >> 1.03^15*155940-11004*((1.03*(1-1.03^15))/(1-1.03)) ans = 3.2147e+004 >> 1.03^16*155940-11004*((1.03*(1-1.03^16))/(1-1.03)) ans = 2.1777e+004 >> 1.03^17*155940-11004*((1.03*(1-1.03^17))/(1-1.03)) ans = 1.1097e+004 >> 1.03^18*155940-11004*((1.03*(1-1.03^18))/(1-1.03)) ans = 95.3913 >> 1.03^19*155940-11004*((1.03*(1-1.03^19))/(1-1.03)) ans = -1.1236e+004 >> 1.03^20*155940-11004*((1.03*(1-1.03^20))/(1-1.03)) ans = -2.2907e+004 >> 1.03^21*155940-11004*((1.03*(1-1.03^21))/(1-1.03)) ans = -3.4928e+004 >> 1.03^1*287268-24804*((1.03*(1-1.03^1))/(1-1.03)) ans = 2.7034e+005 >> 1.03^2*287268-24804*((1.03*(1-1.03^2))/(1-1.03)) ans = 2.5290e+005 >> 1.03^3*287268-24804*((1.03*(1-1.03^3))/(1-1.03)) ans = 2.3494e+005 >> 1.03^4*287268-24804*((1.03*(1-1.03^4))/(1-1.03)) ans = 2.1644e+005 >> 1.03^5*287268-24804*((1.03*(1-1.03^5))/(1-1.03)) ans = 1.9738e+005 >> 1.03^6*287268-24804*((1.03*(1-1.03^6))/(1-1.03)) ans = 1.7776e+005 >> 1.03^7*287268-24804*((1.03*(1-1.03^7))/(1-1.03)) ans = 1.5754e+005 >> 1.03^8*287268-24804*((1.03*(1-1.03^8))/(1-1.03)) ans = 1.3672e+005 >> 1.03^9*287268-24804*((1.03*(1-1.03^9))/(1-1.03)) ans = 1.1527e+005 >> 1.03^10*287268-24804*((1.03*(1-1.03^10))/(1-1.03)) ans = 9.3184e+004 >> 1.03^11*287268-24804*((1.03*(1-1.03^11))/(1-1.03)) ans = 7.0431e+004 >> >> 1.03^12*287268-24804*((1.03*(1-1.03^12))/(1-1.03)) ans = 4.6996e+004 >> 1.03^13*287268-24804*((1.03*(1-1.03^13))/(1-1.03)) ans = 2.2858e+004 >> 1.03^14*287268-24804*((1.03*(1-1.03^14))/(1-1.03)) ans = -2.0048e+003 >> 1.03^15*287268-24804*((1.03*(1-1.03^15))/(1-1.03)) ans = -2.7613e+004 >> 1.03^16*287268-24804*((1.03*(1-1.03^16))/(1-1.03)) ans = -5.3990e+004 >> 1.03^1*509676-60552*((1.03*(1-1.03^1))/(1-1.03)) ans = 4.6260e+005 >> 1.03^2*509676-60552*((1.03*(1-1.03^2))/(1-1.03)) ans = 4.1411e+005 >> 1.03^3*509676-60552*((1.03*(1-1.03^3))/(1-1.03)) ans = 3.6416e+005 >> 1.03^4*509676-60552*((1.03*(1-1.03^4))/(1-1.03)) ans = 3.1272e+005 >> 1.03^5*509676-60552*((1.03*(1-1.03^5))/(1-1.03)) ans = 2.5973e+005 >> 1.03^6*509676-60552*((1.03*(1-1.03^6))/(1-1.03)) ans = 2.0515e+005 >> 1.03^7*509676-60552*((1.03*(1-1.03^7))/(1-1.03)) ans = 1.4894e+005 >> 1.03^8*509676-60552*((1.03*(1-1.03^8))/(1-1.03)) ans = 9.1040e+004 >> 1.03^9*509676-60552*((1.03*(1-1.03^9))/(1-1.03)) ans = 3.1403e+004 >> 1.03^10*509676-60552*((1.03*(1-1.03^10))/(1-1.03)) ans = -3.0024e+004 >> 1.03^11*509676-60552*((1.03*(1-1.03^11))/(1-1.03)) ans = -9.3293e+004 |
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