一.微分几何在20世纪之前的状况在20世纪前，微分几何基本上是研究流形的局部性质，这是因为微分几何是以微分作为主要的工具而发展起来的，因此它的研究多为小范围的。在18、19世纪，微分几何主要的研究对象是三维空间 中的光滑曲面。为了刻画曲面的几何形状和弯曲程度，数学家们引入了曲率的概念，其中就包括了曲面的法曲率、高斯曲率和测地曲率等各种曲率。 在19世纪初，Gauss（高斯）证明了“高斯曲率仅与曲面的内在度量有关”这一十分重要的内蕴几何定理。曲面上每一点处的高斯曲率是两个主曲率（即在该点处最大和最小的法曲率）的乘积，而这个定理表明：虽然主曲率不是内蕴的几何量（依赖于曲面在三维空间 中的嵌入方式），但是它们的乘积却可以仅仅用曲面内在的度量来确定。在大学微分几何课程里，这个定理被称为“绝妙的定理”，它是后来Riemann（黎曼）创立高维的黎曼几何的思想基础。 Riemann（黎曼）在他著名的1854年的就职演讲中，提出了高维的黎曼流形的惊人思想，这种高维的微分流形完全独立于外在的几何空间而存在，并且局部又类似于欧氏空间（这就像光滑的曲面在局部很小邻域内的形状类似于切平面一样）。 用今天的微分几何语言来表达，在Riemann（黎曼）所定义的黎曼流形 上， 是微分流形，而 是给定的黎曼度量，如果 是 上的任意一点，那么 就是 在 点处切空间 上的对称正定的双线性形式（也就是内积），并且映射 是可微的。黎曼度量 的主要作用是计算 上的切向量的长度和交角、以及其他的各种几何量和测地线方程。黎曼几何就是黎曼流形的几何学，它是对Gauss（高斯）曲面论的一般性推广，而高斯曲率的进一步抽象化则是著名的黎曼曲率张量，这个张量可以用来刻画黎曼流形 内在几何性质，特别是 的“弯曲”形状。 在19世纪的后期和20世纪初，以Christoffel（克里斯托费尔）、Levi-Civita（列维-齐维塔）和Ricci（里奇）为代表的一些数学家为了深入解读Riemann（黎曼）深刻的几何思想，提出了一整套张量分析的方法，其中就包含了张量的协变导数的基本概念，它是微积分中偏导数概念的自然推广。所谓“张量”，是指满足某种变换规律的一组函数。张量在现代物理学中特别有用，例如张量分析就在广义相对论中就起了基本的作用。 19世纪的微分几何所取得的主要成就还包括了Lie（李）在1869-1873年所创造的李群理论和Klein（克莱因）在1872年发表的埃尔兰根纲领。但是在19世纪，拓扑学还没有发展起来，因此那时候的黎曼几何和李群理论就只能是一个局部的理论。 二.微分几何在20世纪的大发展到了20世纪，几何学家们开始研究流形的整体（或大范围）性质，特别是关注微分几何局部性质和整体性质之间的关系，其中的代表人物是Blaschke（布拉施克）和Cohn-Vossen（康福森）。在1925年，H. Hopf（H. 霍普夫）开始研究黎曼流形局部的微分几何结构与其整体拓扑结构之间的联系。 在1917年，Levi-Civita（列维-齐维塔）为了弄清楚黎曼所发现的复杂的黎曼曲率张量的真正含义，而提出了黎曼流形中“平行移动”的简单概念。Weyl（外尔）则进一步将它发展成为“仿射联络（affine connection）”这一现代微分几何的基本概念。所谓“联络”，简单地说就是流形切空间的求导法则，它在本质上已经与空间的度量无关。就像黎曼将度量从空间中分离出来一样，Weyl（外尔）也将联络从度量当中分离了出来。 整体微分几何另一位先驱是E. Cartan（E. 嘉当），他接下来是将联络的概念发展成为“纤维空间”的基本概念。他的著名的“活动标架”方法其实就是“向量丛（vector bundle）”概念的先声。一般我们用这样的记号来表示向量丛： ，其中的 表示从向量丛 到微分流形 的投影映射，对 上的每个点 来说，它们的“纤维” 都是线性空间（例如每个点 的切空间就是这样的线性空间，它们组成了 的切丛）。而刻画流形弯曲程度的联络概念就可以推广成向量丛上的联络。后来人们又从向量丛的理论中进一步抽象出了更一般的“纤维丛（fiber bundle）”理论。 E. Cartan（E. 嘉当）还引入了很重要的微分形式（早期也称为外微分形式）： 他用微分形式来表示向量丛上的联络。在其他几乎所有的微分几何学家都使用张量分析的时代，E. Cartan（E. 嘉当）提出微分形式是非常超前的。
图1：E. Cartan（E. 嘉当） 在1930年代的早期，随着微分流形的概念逐渐清晰，以及李群理论与拓扑学理论的逐渐成熟，整体微分几何开始兴盛起来。E. Cartan（E. 嘉当）在研究李群的整体拓扑性质的时候，发现从微分形式的计算中可以直接得到流形的几何与拓扑不变量，从而找到了分析与拓扑之间的深刻联系。这个重要发现就是后来在1931年被de Rham（德拉姆）所证明的de Rham定理：由微分流形 的所有微分形式确定的德拉姆上同调群与 的奇异上同调群是同构的。因为德拉姆上同调群是由 中线性无关的“微分形式上同调类”组成的，所以从这个定理就可以得到一个很重要的结论：可以用微分形式上同调类来作为微分流形 的拓扑不变量。 几年后，Hodge（霍奇）又证明了一个十分漂亮的Hodge定理：在紧黎曼流形上，每个微分形式上同调类中都含有唯一的调和（微分）形式。由于调和形式是椭圆型偏微分方程的解，因此这个著名的Hodge定理就直接建立起了黎曼流形的拓扑性质与椭圆型偏微分方程解空间之间最基本的联系。 也是在1931年左右，以kähler（凯勒）为代表的一些数学家开始研究一类很重要的复流形——凯勒流形，这种复流形是黎曼流形对于复数世界的自然推广，例如凯勒流形就具有和黎曼度量相似的“凯勒度量”。和黎曼流形相比，凯勒流形具有更丰富的几何与拓扑性质，并且由此可以直接沟通微分几何与代数几何的联系（这是因为在代数几何中所研究的代数簇中有许多是凯勒流形）。在凯勒流形上，对于表现流形拓扑性质的微分形式上同调类，可以建立起十分完美的、由Hodge定理发展而成的Hodge理论。 在1940年代，经典的联系曲面局部与整体性质的Gauss-Bonnet（高斯-博内）定理被陈省身先生推广到了高维，他证明了高维紧黎曼流形 的高斯-博内定理：，这个等式左边的 表示黎曼流形 上曲率的微分形式，右边是 的欧拉示性数。陈省身先生在证明这个定理时，首创运用了E. Cartan（E. 嘉当）的纤维丛思想和微分形式的有力工具。在每一个黎曼流形 上，都有一个纤维丛 ，而纤维丛 实际上也是一个微分流形，在 和 这两个流形的微分形式上同调类之间有着很独特的内在联系。陈省身先生首先将黎曼流形 上的曲率微分形式 “提升”到纤维丛 后成为了 上的微分形式，然后在 上找到了另一个低一次的微分形式 ，使得成立等式 ，其中的 是外微分，从而就可以将定理中的积分 转化为对于微分形式 的积分，于是便能够完成对高维的高斯-博内定理的证明。 在陈省身先生给出的高维的高斯-博内定理的证明过程中，最有价值的收获是对恰当微分形式 的发现。用来表示曲率的恰当微分形式完全可以作为微分流形的德拉姆上同调群的元素，并且对恰当微分形式进行积分以后还能够显示流形的整体拓扑性质。这个重要的发现引导陈省身先生在一般的复流形上, 用复流形 的纤维丛 上联络的曲率微分形式来确定 的德拉姆上同调群的元素 ，由于这些含有流形几何信息的元素还有另外一个名称：微分形式上同调类，所以人们就将它们称为“陈（省身）示性类”，简称“陈类”（其中的字母 就是“陈”字拼音的第一个字母）。陈省身先生由此发展出了一整套的示性类几何理论，用陈类统一了其他所有的纤维丛示性类，这项成就被认为是陈省身先生最重要的工作。后来人们逐渐发现，陈类是证明代数几何学中的主要定理——Hirzebruch-Riemann-Roch（希策布鲁赫-黎曼-罗赫）定理的最基本的工具。 高维的高斯-博内定理的证明充分显示了纤维丛理论对于描述微分流形的整体拓扑性质的极端重要性。在1950年，Ehresmann（埃雷斯曼）发表了他的主丛（一种特殊的纤维丛）上的联络理论，这种理论系统总结和推广了E. Cartan（E. 嘉当）的联络思想和方法，为整体微分几何奠定了坚实的理论基础。纤维丛的联络理论作为一种广义的“求导”理论，统一了以往的各种联络理论，因此也被称为“纤维丛的微分几何”。陈省身先生是纤维丛联络与示性类理论的主要倡导者和传播者，这套理论彻底改变了以往经典微分几何学中的只注重局部坐标的张量语言，代之以十分新颖的整体的向量场与微分形式的语言（例如其中就有表示黎曼联络的Koszul（科斯居尔）记号 ），这种新的语言极大地促进了人们对于现代微分几何的学习、理解与研究。 微分几何学在20世纪的后半叶迅速发展成为了现代数学的一门主流的分支学科，研究的主要方向包括曲率与拓扑的关系、子流形、特征值问题、调和映射、复流形、里奇流（Ricci flow）、度量黎曼几何等。 在20世纪的50年代，Bochner（博赫纳）提出了一个简单而又富有成效的思想：将调和形式与曲率联系起来，从而对合适的曲率条件，不仅可以得到黎曼流形上调和形式的消失定理，而且还得到了凯勒流形上全纯形式的消失定理。这些断言高阶上同调群等于零的消失定理进一步导致产生了著名的Kodaira（小平邦彦）消失定理，而后者对于刻画复流形的拓扑性质来说是很基本的。 在20世纪的60年代，Atiyah（阿蒂亚）和Singer（辛格）一起证明了阿蒂亚-辛格指标定理，这个著名定理指出：流形 上的一类椭圆型偏微分算子的指标（表示微分算子分析性质的一个整数）是流形的拓扑不变量，并且它可以用几何量的积分来表示。阿蒂亚-辛格指标定理被认为是20世纪最伟大的数学定理之一，因为它揭示了微分几何学与拓扑学、代数几何学、偏微分方程等学科之间的深刻联系。事实上，阿蒂亚-辛格指标定理是一个综合了许多重要定理的大定理，它不仅包含了高维的高斯-博内定理的结论，同时也包含了Hirzebruch-Riemann-Roch（希策布鲁赫-黎曼-罗赫）定理的结论。 在20世纪的70年代，诞生了著名的Calabi-Yau（卡拉比-丘（成桐））定理。在前面我们讲到了凯勒流形，这种复流形是复微分几何与复代数几何的主要研究对象。Calabi（卡拉比）在20世纪的50年代曾经提出过一个重要的猜想：在“第1陈类”为零的紧凯勒流形中，一定存在唯一的里奇（Ricci）曲率为零的凯勒度量。Calabi（卡拉比）自己只能证明唯一性。要证明这种特殊度量的存在性问题，可以归结为求解一个高度非线性的复偏微分方程的解。这个极其艰难的证明解的存在性任务是被Yau（丘成桐）完成的，他运用了多种几何与分析的方法（包括经典的先验估计方法），经过几年的努力研究，终于在1976年证明了这个偏微分方程解的存在性，也就是把Calabi（卡拉比）猜想变成了“Calabi-Yau（卡拉比-丘）定理”。 和陈省身先生证明了高维的高斯-博内定理相类似，Calabi（卡拉比）猜想的解决同样也开创了一个全新的研究领域——Calabi-Yau（卡拉比-丘）流形的几何学。因为既然已经证明了里奇（Ricci）曲率为零的凯勒度量的存在性，所以数学家们自然就将具有这种特殊度量、并且第1陈类为零的复流形命名为“Calabi-Yau（卡拉比-丘）流形”。这种新流形的几何学在代数几何与理论物理中都具有很重要的应用。目前在理论物理中所研究的超弦理论是一种试图统一自然界中所有的力（包括量子引力）的理论，其中所用到的主要数学理论正好就是Calabi-Yau（卡拉比-丘）流形理论。 在20世纪的80年代，微分几何与理论物理的互相作用产生了一个十分重要的规范场（Gauge Field）理论。物理学家Yang（杨振宁）和Mills（米尔斯）在1954年就提出了的规范场的基本思想，这个理论主要用于描写基本粒子的内在对称性，利用规范场论所建立起的弱相互作用和电磁相互作用的统一理论，已经为实验所证实。数学家们后来发现，规范场论中的规范势实际上就是纤维丛上的联络。不仅如此，在这个理论中出现的Yang-Mills（杨振宁-米尔斯）方程是一组极有意义的非线性偏微分方程。于是，就像爱因斯坦在广义相对中运用了黎曼几何一样，物理学家们大量运用了纤维丛的微分几何来推进规范场论的研究，例如他们运用了阿蒂亚-辛格指标定理来确定Yang-Mills方程的自对偶解集。 在另一方面，规范场理论反过来也促进了对于微分几何的研究。在1982年，Donaldson（唐纳森）发现：4维流形上Yang-Mills方程的自对偶解集的模空间与流形的拓扑性质有直接的联系，在此基础上他发现了4维流形的新的拓扑不变量。Donaldson（唐纳森）的崭新理论极大地推进了人们对于4维流形的研究。 在20世纪的最后10年里，微分几何学界发起了对于证明Poincaré（庞加莱）猜想这个重大问题的冲击。著名的庞加莱猜想是：每个单连通的3维流形都同胚于3维球面。此时数学家们手中主要的武器是著名的里奇流（Ricci flow）： ，这是一组描述关于随时间 变化的黎曼度量的二阶非线性抛物型偏微分方程，其中的 就是Ricci（里奇）曲率。里奇流是由Hamilton（汉密尔顿）在1979年引入的，目的是为了研究3维流形的拓扑。经过了20年的努力研究，汉密尔顿逐步建立起了关于里奇流的理论框架。在2003年，Perelman（佩雷尔曼）宣布他证明了庞加莱猜想，他所用的方法主要就是改进的（“带手术的”）里奇流方法。 三. 20世纪微分几何领域中的各个分支学科在20世纪中所形成的微分几何学领域中，各个主要分支学科（或方向）有： “ 四. 20世纪微分几何发展过程中的大事记下面按照年份的顺序，记录了在20世纪中关于微分几何发展过程中的一些重要事件。
图2：Kobayashi（小林昭七）、Nomizu（野水克己）写的《微分几何基础》第一卷中译本，科学出版社，2017年
五.微分几何阅读书目1．《曲线与曲面的微分几何》，M. P. do Carmo，机械工业出版社，2005年。
图3：M. P. do Carmo写的《曲线与曲面的微分几何》中译本 2．《Elements of Differential Geometry》，R. S. Millmann、G. D. Parker，Prentice-Hall Inc.，1977年。
图4：R. S. Millmann与G. D. Parker写的《Elements of Differential Geometry》 3．《Elementary Topics in Differential Geometry》，J. A. Thorpe，世界图书出版公司，2013年。
图5：J. A. Thorpe写的《Elementary Topics in Differential Geometry》 4．《A Differential Approach to Geometry》，F. Borceux，世界图书出版公司，2017年。
图6：F. Borceux写的《A Differential Approach to Geometry》 5．《几何与拓扑的概念导引》，古志鸣，高等教育出版社，2011年。
图7：古志鸣写的《几何与拓扑的概念导引》 6．《黎曼几何初步》，伍鸿熙等，高等教育出版社，2005年。
图8：伍鸿熙等人写的《黎曼几何初步》 7．《Geometry I》，R. V. Gamkrelidze（Ed.），科学出版社，2009年。
图9：R. V. Gamkrelidze主编的《Geometry I》 8．《Topology, Geometry, and Gauge Fields: Foundations》（第2版）、《Topology,Geometry, and Gauge Fields: Interactions》（第2版），G. L. Naber，Springer，2010年、2011年。
图10：G. L. Naber写的《Topology, Geometry, and Gauge Fields: Foundations》（第2版）
图11：G. L. Naber写的《Topology, Geometry, and Gauge Fields: Interactions》（第2版） 9．《Manifolds, Tensors, and Forms》，P. Renteln，Cambridge University Press，2014年。
图12：P. Renteln写的《Manifolds, Tensors, and Forms》 10．《An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry》（第2版修订版），W. M.Boothby，人民邮电出版社，2007年。
图13：W. M. Boothby写的《An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry》（第2版修订版） 11．《Introduction to Smooth Manifolds》（第2版），J. M. Lee，世界图书出版公司，2015年。
图14：J. M. Lee写的《Introduction to Smooth Manifolds》（第2版） 12．《黎曼几何引论（上册）》、《黎曼几何引论（下册）》，陈维桓，李兴校，北京大学出版社，2002年，2004年。
图15：陈维桓，李兴校写的《黎曼几何引论（下册）》 13．《微分几何讲义》，周建伟，科学出版社，2010年。
图16：周建伟写的《微分几何讲义》 14.《Differential Geometry and Mathematical Physics : Part I. Manifolds, Lie Groups and Hamiltonian Systems》，G. Rudolph、M. Schmidt，Springer，2013年。
图17：G. Rudolph与M. Schmidt写的《Differential Geometry and Mathematical Physics : Part I. Manifolds,Lie Groups and Hamiltonian Systems》 15.《Differential Geometry and Mathematical Physics : Part II. Fibre Bundles, Topology and GaugeFields》，G. Rudolph、M. Schmidt，Springer，2017年。
图18：Rudolph与M. Schmidt写的《Differential Geometry and Mathematical Physics : Part II. FibreBundles, Topology and Gauge Fields》 16．《微分几何导引》，黄正中，南京大学出版社，1992年。
图19：黄正中写的《微分几何导引》 17. 《Differential Geometry（第I、II、III、IV、V卷）》（第2版），M. Spivak，Publish or Perish，1979年。
图20：M. Spivak写的《Differential Geometry（第II卷）》（第2版） 18．《A Panoramic View of Riemannian Geometry》，M. Berger，世界图书出版公司，2011年。
图21：M. Berger写的《A Panoramic View of Riemannian Geometry》 19．《Riemannian Geometry and Geometric Analysis》（第6版），J. Jost，世界图书出版公司，2015年。
图22：J. Jost写的《Riemannian Geometry and Geometric Analysis》（第6版） 20．《Geometry of Physics: An Introduction》（第2版），T. Frankel，清华大学出版社，2005年。
图23：T. Frankel写的《Geometry of Physics: AnIntroduction》（第2版） 21．《Lectures on the Geometry of Manifolds》（第3版），L. I Nicolaescu，World Scientific，2020年。
图24：L. I Nicolaescu写的《Lectures on the Geometry of Manifolds》（第3版） 22．《Modern Geometric Structures and Fields》，S. P.Novikov等，高等教育出版社，2018年。
图25：S. P. Novikov等人写的《Modern Geometric Structures and Fields》 23．《Riemannian Geometry》（第2版），P. Petersen，科学出版社，2007年。
图26：P. Petersen写的《Riemannian Geometry》（第2版） 24.《Differential Geometry》，C. H. Taubes，Oxford University Press，2011年。
图27：C. H. Taubes写的《Differential Geometry》 25．《Riemannian Geometry During the Second Half of the Twentieth Century》M. Berger，American Mathematical Society，1999年。
图28：M. Berger写的《Riemannian Geometry During the Second Half of the Twentieth Century》 文稿|陈跃 编辑|朱善军 |
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