微分几何（Differential geometry）名词解释：Differential geometry

方建勇 2017-06-05

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《数学人Mathmann》译者：方建勇/浙江大学数学系98级毕业生

微分几何是使用差分微积分，积分微积分，线性代数和多线性代数技术来研究几何问题的数学学科。三维欧几里德空间中的平面和空间曲线和曲面的理论构成了18世纪和19世纪差异几何发展的基础。

自19世纪后期以来，微分几何已经发展成为一个更广泛地涉及可微分歧管上的几何结构的领域。差分几何与差分拓扑和微分方程理论的几何方面密切相关。表面的微分几何形状捕获了该领域的许多关键思想和技术特征。

发展史

微分几何是由于曲线和曲面的数学分析结果而产生和发展的。已经开发了曲线和曲面的数学分析，以回答在微积分中出现的一些n叨和未回答的问题，如复杂形状和曲线之间的关系的原因，系列和分析函数。这些没有回答的问题表明了更大的隐藏的关系。

当曲线，由曲线包围的曲面和曲线上的点被发现是定量的，并且通常与数学形式相关时，曲线和曲面的性质的正式研究成为本身的研究领域，Monge在1795年的论文特别是高斯出版了他的文章，题为“Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas”，于1827年在“社会科学评论”杂志上发表。

最初应用于欧几里得的空间，进一步的探索导致了非欧几里德空间，公制和拓扑空间。

应用

以下是微分几何应用于其他科学和数学领域的一些例子。

在物理学中，将会提到四种用途：
微分几何是爱因斯坦的一般相对论被表达的语言。根据这个理论，宇宙是一个配有伪黎曼度量的光滑流体，它描述了时空的曲率。了解这种曲率对于卫星定位到轨道绕地球是至关重要的。微分几何在引力透镜和黑洞的研究中也是不可或缺的。
微分形式用于电磁学研究。
差分几何应用于拉格朗日力学和哈密尔顿力学。特别是湍流歧管可用于研究哈密顿系统。
黎曼几何和接触几何已被用于构建几何热力学的形式学，其已经在经典的平衡热力学中得到应用。
在化学和生物物理学中，在变化的压力下建模细胞膜结构。
在经济学中，微分几何在计量经济学领域有应用。
几何建模（包括计算机图形学）和计算机辅助几何设计借鉴差异几何的想法。
在工程中，可以应用微分几何来解决数字信号处理中的问题。
在控制理论中，微分几何可用于分析非线性控制器，特别是几何控制
在概率统计和信息理论中，人们可以将各种结构解释为黎曼流形，其特征在于通过Fisher信息度量产生信息几何领域。
在结构地质学中，差分几何用于分析和描述地质结构。
在计算机视觉中，使用微分几何来分析形状。
在图像处理中，差分几何用于处理和分析非平面上的数据。
Grigori Perelman使用Ricci流技术的庞加莱猜想的证明表明了拓扑中问题的差分几何方法的力量，并突出了其分析方法发挥的重要作用。
在无线通信中，Grassmannian歧管用于多个天线系统中的波束成形技术。

内在与外在

从一开始到18世纪中期，从外在的角度研究了微分几何学：曲线和曲面被认为位于较高维度的欧几里德空间（例如三维环境空间中的表面）。最简单的结果是曲面的差分几何形状和表面微分几何形状。从黎曼的工作开始，内在的观点被开发出来，其中不能说“移动”外部的几何物体，因为它被认为是以独立的方式给出的。这里的基本结果就是高斯定理，高斯曲率是固有的不变量。

内在的观点更为灵活。例如，在相对论中，空间时间自然不能被视为外在的（相对于“外在”）是有用的。然而，在技术复杂性方面需要付出代价：曲率和连接的内在定义在视觉上变得不那么直观。

这两个观点可以协调一致，即外在几何可以被认为是内在的。（参见纳什嵌入定理）在几何微积分的形式学中，歧管的外在和内在几何可以通过称为形状运算符的单个双值矩形单形式来表征。

束和连接

矢量束，主束和束上的连接的装置在现代差分几何中起着非常重要的作用。平滑的歧管总是携带天然的矢量束，切线束。简单地说，这种结构本身就足以用于开发歧管上的分析，而几何要求还需要某种方式来将不同点的切线空间，即平行运输的概念联系起来。仿射连接提供了一个重要的例子。对于R3中的表面，可以使用由环境欧几里德空间引起的自然路径平行度来识别不同点处的切平面，其具有公知的度量和并行度的标准定义。在黎曼几何中，Levi-Civita连接的用途类似。（Levi-Civita连接根据歧管上的给定任意黎曼度量定义了路径平行度。）更一般地，差分几何体考虑空间与向量束和任意仿射连接，这不是根据度量定义的。在物理学中，歧管可能是时空连续体，束和连接与各种物理场有关。

分支

黎曼几何
主要文章：黎曼几何

黎曼几何研究黎曼流形，平滑流形，具有黎曼度量。这是通过在每个点的切线空间上定义的平滑的正定对称双线性形式表示的距离的概念。黎曼几何将欧几里德几何概括为不一定平坦的空间，尽管它们在每个点上仍然类似于欧几里得空间，即以近似的一阶。基于长度的各种概念，例如曲线的弧长，平面区域的面积和固体的体积在黎曼几何中都具有自然的类似物。来自多变量演算的函数的方向导数的概念在黎曼几何中扩展到张量的协变导数的概念。分析和微分方程的许多概念和技术已被推广到黎曼流形的设置。

黎曼流形之间的距离保持差异称为等距。这个概念也可以在本地定义，即对于小的点附近。任何两个常规曲线都是局部等轴测图。然而，卡尔·弗里德里希·高斯的定理表明，对于表面，局部等高线的存在对其度量具有强相容性条件：相应点处的高斯曲率必须相同。在更高维度上，黎曼曲率张量是与黎曼流形相关联的重要的点向不变量，其测量它是平坦的接近程度。黎曼流形的重要类别是黎曼对称空间，其曲率不一定是常数。这些是欧几里德和非欧几里得几何中考虑的“普通”平面和空间的最接近的类似物。

伪黎曼几何

伪黎曼几何将黎曼几何概括为公制张量不需要是正定的情况。一个特殊的例子是洛伦兹多维数据集，这是爱因斯坦广义相对论重力理论的数学基础。

Finsler几何

Finsler几何学以Finsler流形为主要研究对象。这是具有Finsler度量的差分歧管，即在每个切线空间上定义的Banach范数。黎曼流形是更普通的Finsler流形的特殊情况。歧管M上的Finsler结构是一个函数：

F : TM → [0,∞) such that:

F(x, my) = |m|F(x,y) for all x, y in TM,
F is infinitely differentiable in TM ? {0},
The vertical Hessian of F² is positive definite.

辛普利几何
主要文章：Symplectic几何

Symplectic几何是对symplectic歧管的研究。几乎相似的歧管是一个可微分的歧管，它在每个切线空间上都有平滑变化的非简并偏斜对称双线性形式，即非简并2-形ω，叫做symplectic形式。 symplectic歧管是一个几乎相似的歧管，其中ω的关系为：dω= 0。

两个共同歧管之间的差异形式，保留了对称形式称为对称形态（symplectomorphism）。非简并偏斜对称双线性形式只能存在于偶数维向量空间上，因此，正交歧管必然具有均匀的维数。在维度2中，一个正交歧管只是一个具有区域形式的表面，并且同态是一个保留区域的不同形态。机械系统的相位空间是一个共同的歧管，它们在约瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph Louis Lagrange）的工作中已经分解力学，后来在卡尔·古斯塔夫·雅各比和威廉·罗文·汉密尔顿的经典力学方面。

与黎曼几何相比，曲率提供了黎曼流形的局部不变量，Darboux定理表明，所有symplectic流形都是局部同构的。一个共同的歧管的唯一不变量是全球性的，拓扑方面在对称几何中起着突出的作用。共轭拓扑结构的第一个结果可能是庞加莱Birkhoff定理，由HenriPoincaré推测，然后在1912年由GD Birkhoff证明。它声称，如果一个环面的保留地图将相反方向的每个边界分量扭曲，那么地图至少两个固定点。