主元法巧解导数压轴题*

许多数学问题中都含有常量、参量、变量等多个量.通常情况下，有一些元素处于突出和主导的地位，可视之为主元.在某些情况下，为解决问题的需要，我们也可人为突出某个元素的地位作用，将之当作主元.确立主元后，以此作为解题的主线进而把握问题，促使问题转化直至问题解决的思想方法称为主元法.数学中的多元参数问题，若按常规思路确定主元，可能导致问题复杂化，此时，若能针对题目的结构特征，改变思考的角度，重新选择某参变量为主元，另辟蹊径，往往可以使问题化难为易，迅速求解.在导数试题中，经常涉及到多个变量(如x、a、b等)，解题常规思路是以x为主元求解.但是对于不少导数压轴试题，以x为主元进行求解会十分繁琐.此时如果能够改变思路，重新确定主元，则会使得解题过程格外简捷自然.

例1 已知函数

(1)若x=x0时， f(x)取得极小值f(x0)求a及f(x0)的取值范围；

(2)当a=π，0<m<π时，证明： f(x)+mln x>0.

解 (1)略.

(2)要证由只要证作函数

即证h(m)>0.

当0<x<1时，ln x<0，h(m)在区间(0,π)单调减，故

记则在x区间(0,1)单调减，故p(x)>p(1)=0，所以h(m)>0.

当x=1时，h(m)=π-1>0.

当1<x<π时，ln x>0，h(m)在(0,π)单调增，则

综上，h(m)>0，即f(x)+mln x>0.

评注 如果以x为主元求解问题(2)较为繁琐.此时重新确定m为主元，要证h(m)>0，只需对ln x进行分类讨论即可，这使得解题过程大大简化.

例2 (2019年江苏高考题)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)，a、b、c∈R, 且 f ′(x)为f(x)的导函数.若a=0，0<b≤1, c=1，且f(x)的极大值为M，求证：

证明 由已知得f(x)=x(x-b)(x-1)，0<b≤1.结合三次函数的图象，可知存在x0∈(0,1)，使得M=f(x0)，且

记由于x0∈(0,1)，所以在(0，1]上单调增，有

记φ(x)=x-2x2+x3，0<x<1,易求得φ(x)的最大值为

故

评注 要证明常规思路是将M表示成以x0为主元的函数，求导证明，过程较繁琐.不妨重新确定主元，以b为主元，将M表示成结合x0的取值范围确定g(b)在0<b≤1上单调递增，从而迅速证明出整个解题过程自然流畅，思路清晰，十分简捷.

例3 (2019年浙江高考题)已知实数a≠0，设函数

(1)当时，求f(x)的单调区间;

(2)对任意均有求a的取值范围.

解 (1)略.

(2)令得下证就是所求a的取值范围.

当时，依题意，在恒成立.

记则有记则

由可知当即时，

记则

易知p(x)在区间单调减，在(1,+∞)单调增.所以p(x)≥0，从而g(t)≥0，符合题意.

当即时，

记

记函数由可得φ(x)在区间单调减，且 所以h(x)>0， g(t)≥0，符合题意.

综上，

评注 对于不等式常规思路是以x为主元求解.重新确定以t为主元，对得到的二次函数g(t)通过配方、讨论对称轴与的关系，将复杂的问题转化成学生熟悉的二次函数最值问题.

例4 已知函数f(x)=ex-x，g(x)=(x+k)ln(x+k)-x.对任意的a、b>0，不等式f(a)+g(b)≥f(0)+g(0)+ab恒成立，求正实数k的取值范围.

解 由已知，可得ea-a+(b+k)ln(b+k)-b-1-kln k-ab≥0，a>0,b>0,k>0.

记h(a)=ea-a+(b+k)ln(b+k)-b-1-kln k-ab，则h(a)≥0.

h′(a)=ea-1-b，令h′(a)=0，得a=ln(b+1).易知h(a)在(0,ln(b+1))单调减，在(ln(b+1),+∞)单调增，故h(a)≥h(ln(b+1))，即h(a)≥(b+k)ln(b+k)-(b+1)ln(b+1)-kln k.

记t(b)=(b+k)ln(b+k)-(b+1)ln(b+1)-kln k，则t′(b)=ln(b+k)-ln(b+1).

若k≥1，则t′(b)≥0，t(b)在(0,+∞)单调增，t(b)>t(0)=0,此时h(a)>0，符合题意.

若0<k<1，则t′(b)<0，t(b)在(0,+∞)单调减，t(b)<t(0)=0，矛盾.

综上，可得k≥1.

评注 本题通过两次重新确定主元，将复杂的多元问题转化成简单的问题，提高了解题效率.

不难发现，对于此类导数试题，当面对题目中含参数问题时，若以x为主元证明很困难，可通过重新确立主元的方法，往往会化繁为简，化难为易，化抽象为具体，使求解过程更加简捷.