Riemann 曲面

我们紧接文章   复射影平面上的代数曲线,   简单介绍一些黎曼曲面的基本知识. 

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紧Riemann面与代数曲线的研究有密切的关系. 具体说来就是:任何不可约的平面代数曲线, 都有全纯的参数表示, 这参数表示的定理定义域是一紧Riemann面. 更准确的陈述,就是下面的正则化定理(这定理的证明将在之后给出)

定理:    对任一不可约代数曲线, 存在一个紧Riemann面和一个全纯映射

使得, 并且在的光滑点之上是一对一的.

这样的紧Riemann面连同全纯映射称为是的正则化(Normalization). 正则化是研究代数曲线的强有力的工具.

另一方面,任何紧Riemann面也都可以表示为代数曲线, 这就是我们将要多次用到的另一基本事实:

定理:    任意紧Riemann面都可以作为某平面代数曲线的正则化,并可要求这代数曲线至多只具有通常二重点. 这就是说,存在全纯映射使得 是一条至多只有通常二重点的代数曲线.

关于二重点,我们随后给出定义.

由此看来,紧Riemann面的研究与平面代数曲线的研究,实际上是一回事,都是贯穿于本书中的主要内容.本节先介绍Riemann面的定义及有关拓扑分类的基本结果.

定义:    一个Riemann面是一个连通的Hausdorff拓扑空间, 连同的一族开覆盖和一族映射

满足以下条件:

(a) 是到中开集的同胚映射;

(b)只要,函数

是双全纯的(即:函数本身是全纯的,其反函数也是全纯的).

这时,我们把称为局部全纯坐标,而把称为全纯坐标覆盖.

我们讨论的的主要对象是紧Riemann面,即作为拓扑空间是紧致空间的Riemann面.

例   扩充复数(复数的一点紧化)

显然是紧致的,连通,Hausdorff拓扑空间. 考虑覆盖:

及映射

显然,

是双全纯的, 具有同样表达式的也是如此. 这样成为一个紧Riemann面.

通过球极投影可以把单位球面与等同起来,因而也自然地成为Riemann面. 具体的坐标表示如下. 记 (北极), (南极), 考虑的覆盖及映射 :

这里表示从南极出发到作球极投影,然后取共轭

而表示从北极出发到作球极投影

我们有

显然 和都是双全纯的.

扩充复平面或通过球极投影得到的复数球面, 按上面的方式作成的紧Riemann面称为Riemann球面.

例:   复环面

设复数实线性无关(即不存在实数, , 使得)它们在上定义了一个格:

设是由和生成的的离散子群. 它同构于. 考虑上的等价关系:

这等价关系的商空间称为复环面. 容易看出这是一个紧致,连通, Hausdorff拓扑空间. 只要充分小, 上任意圆盘:与每一等价类至多相交于一点,因而这圆盘与上的一个开集之间可建立一一对应关系. 用这种方式建立局部坐标, 成为一个紧Riemann面. 细节的验证留给读者作为练习.

从的开集到的开集的全纯函数

同时也给出从的开集到的开集的光滑映射

由此看出紧Riemann面同时也是一个紧的光滑的实二维流形——紧致光滑曲面. 由全纯函数(1)引出的光滑映射(2)应满足 Cauchy-Riemann 方程

因为

这说明紧Riemann面表示的光滑二维实流形实可定向的. 从而拓扑上看,任何紧Riemann面同时也是一个可定向的二维紧致光滑曲面.

拓扑学关于二维流形分类的经典结果告诉我们:任何可定向的二维紧流形都同胚与一个具有若干环柄的球面;这环柄的个数,是一个基本的拓扑不变量,称为亏格.

亏格为0的可定向紧曲面就是通常的球面;

亏格为1的可定向紧曲面就是通常的环面;

亏格为2的可定向紧曲面就是双环面.

研究二维曲面的一个方便的办法,是沿一些适当选择的割缝把这曲面切开然后展开成一块平面上的多边形区域.

例:    球面可以沿一条割缝切开,摊成平面上的'二边形'区域.  沿着这二边形边缘巡回一周,我们顺次经过和, 可记为.

例:    环面(亏格)可以沿从一点出发的两条割缝切开, 摊成平面上的四边形. 沿这四边形边缘巡回一周,我们顺次经过, 因而,这样的四边形记为.

例题:    双环面()可以沿从一点出发的四条割缝切开,摊成平面上的八边形. 记为.

一般地,具有个环柄的球面,可以沿条割缝切开, 摊成平面上的边形:

二维紧曲面的这种表示法称为规范表示.

定义:    对于亏格为的二维可定向紧曲面, 其Euler示性数定义为

Euler示性数是极其重要的一个拓扑不变量.