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在世界数学难题中，最著名的当属7个千禧问题了。这是一系列的问题，解决其中任何一个都可以获得100万美元。黎曼假设是最容易表述的，所以有很多关于它的文章。庞加莱猜想是迄今为止唯一一个被解决的，因此也有许多关于它的文章。 这篇文章将要讨论的问题叫做霍奇猜想（Hodge Conjecture）。这是一个代数几何的问题。本文尝试为一般的数学读者提供这个猜想的概述。 拓扑拓扑学基本上是研究如何使物体变形的。首先，我们设一个空间X是一个球面（二维的）。 如果我们从球面上的任何一个环（比如黑色的那个）开始，我们可以将它滑动到一个点（黑点）。当我们可以这样做的时候，我们把这个环称为“等于0”，因为这个环可以变为一个点。 对于这个球面上的任何一个环，我们都可以将它滑到一个点，所以这个变形等价的环的集合为0。我们用下式表示这种情况 需要注意的一件重要的事情是，开始的环并不一定是一个“平滑的循环”。它可以是任意的形状，只要它是一个闭环即可。下 让我们增加一点难度，看看环面（也是二维的）。 上图中红色的环可以变形到环面上的一点。但是黑色的环（上图波状黑圈）则不能缩到一个点上，它最多可以变成上图光滑的黑圈。 任何环绕中心孔的闭环都可以缩小到中间的环上（上图红色圈）。严格地证明并不容易，因为我还没有给出真正的定义，但是如果你仔细想想，你应该能够说服自己，环面只有以上这三种情况。 所以，唯一的非零元素是由这两个环产生的。在本例中（环面），我们用下式表示： 它是第一个同调群。如果一个环是[A]，另一个环是[B]，我们可以用有理数作为系数对它们求和，如： 如果我们称这些一维的环为1环，那么我们就称k维的对应环为k-环。准确地定义它们有点奇怪，因为我们仍然希望在更高的维度中有“成为一个环”的概念。 为了感受一下，你可以想象一个3d球体： 如果你有一些二维的小块在里面，你总是可以把它缩小到一个点。从图上很难分辨，但你应该注意到这是在三维球体的内部。在之前的例子中，我们必须在二维球面上。 k-环的情况用下式表示： 由于所有的1-环都会缩到球面上的一点，因此： 所有的2-环也会缩到一点，因此：
在某种意义上，H的维数k将告诉你在空间X中有多少个（n-k）维孔，其中n是X的维数。H_1是二维的，因为它有两个“孔”，一个绕着环面的“管”，另一个绕着中心孔。 几何几何可以表示很多不同的东西，但在本文中，我们用的是“代数几何”。如果你学过线性代数，你应该对这个概念很熟悉。线性代数研究的是线性方程组的零集。你会得到非常简单的东西，比如平面和子空间。 回想一下，线性代数中的技巧包括在思考“图像”（比如零空间、值域空间、平面的交点）和实际计算的“代数”之间来回转换。 线性代数在某种意义上是“完全解决了”，但如果你让你的方程中有不同指数，那它们就是多项式。这就是代数几何：在多项式零集的几何和处理这些方程的代数运算之间进行转换。 在本文中，一个光滑代数簇（简化为“簇”）是一个几何空间X，由多项式的零集给出，得到的空间是"光滑的"，就像你们在微积分中学到的那样。 二维球面由二次方程给出。圆环面是由三次方程给出的椭圆曲线。希望你们理解了这个奇怪的术语。椭圆曲线是一个二维环面。 因为我们处理的是复数，所以“实”维数总是偶数。如果你考虑复平面，它看起来像：
但它只是ℂ。代数几何学家用复维来称呼事物，所以一维曲线有2个实维，而二维曲面有4个实维。 我们需要的最后一个术语是子簇。你们可以想象，X的一个子簇是由多项式方程零点集给出的一个子集，因此也是一个簇。 这是使霍奇猜想有趣的关键思想：从拓扑学家的观点来看，实际上没有什么多样性。 作为多项式集合的零集是非常有限的。拓扑上的东西可能会很疯狂，很奇怪且很晦涩。如果你从X的一个子簇开始，然后像我们上面做的那样对它进行任意变形，你最终得到的将不再是一个子簇。 另外，请注意，一个子簇是通过取多项式零点集并与X相交而形成的。这本质上是一个“全局”的东西。拓扑上变形的形状在某种意义上是一个“局部”的东西。 所以如果这两个不同的数学分支之间有很好的联系，我们应该感到惊讶。 霍奇猜想在这一点上，我们可以给出的霍奇猜想最简单的表述是： 在
中，给定某个环[A]，是否存在一个k维子簇Y来表示[A]？我们称这样的子簇为[A]的代数代表。 让我们把它解剖一下。回想一下，A可能是奇形怪状的，它是一种基本的拓扑结构，绕着x中的一个孔。 有没有办法把A“变形”成一个由多项式方程定义的“漂亮”形状？ 如果你认为答案显然是肯定的，那么你可能没有领会到作为一个子簇是多么强大和受限。如果你认为答案显然是否定的，那么你可能无法理解在不改变A的类的情况下，我们可以做多少变形。 记住，我们在复数上面，所以每个子簇都是偶维的。例如，这意味着
中没有代数代表。 但即使我们把自己限制在维度上，还有一个技术条件会带来问题。 如果你查霍奇猜想，标准的表述方式涉及上同调而不是同调，所以只有上标，没有下标。事实证明这些只是对偶概念。如果X有（实）维度n，那么我们可以把Hₖ(X，ℚ)中的[A]看作是Hⁿ⁻ᵏ(X, ℚ)中的一个类。 这样做的原因之一是上同调可以用微分形式来解释。这意味着我们可以用积分来进行数值计算。 在我们对X的假设下，上同调有一个很好的分解，叫做霍奇分解。它甚至使用调和函数。以4为例：
一个使用一些技术机制的相当简单的计算表明，任何子簇[Y]必须落在中间的那块上。换句话说，每个子簇都是一个霍奇类。 例如，如果X是6维的（复数意义上的），而Y是二维的子簇，则[Y]属于 H⁸(X, ℚ)的(4,4)部分。 如果所有这些都有点多，就把这看作必须满足的一个额外的“数字条件”。因为每个子簇都是霍奇类，我们知道霍奇猜想的简单表述版本是不正确的，因为我们只取一个非零的非霍奇类。 霍奇猜想的正确版本是：每一个霍奇类都是代数的。换句话说，我们可以选任何一个霍奇的类，不管它有多怪异，我们都可以把它变形成一个子簇。 一些进展事实证明霍奇猜想在低维空间中是正确的。这是由Lefschetz在1924年证明的，而霍奇猜想是1950年提出来的。在过去的几年里，也有一些其他的维度被证明，但都是在非常强大的额外假设下。 你可以想象有人做了一个天真的猜想，然后有人指出实际上子簇都是霍奇类。然后有人说，我想知道是不是所有的霍奇类都是代数的。 然后在1961年，Atiyah和Hirzebruch证明了积分版本是错误的。于是人们说，我想知道我们是否可以用Q代替Z，如果这是真的。这就是我们今天所处的处境。 与黎曼假说不同，霍奇猜想似乎是一项正在进行中的工作，在经过几次改进后陷入了困境。我们甚至不知道当X是4维且由一个多项式方程给出时它是否成立。 |
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