椭圆切线与切点弦方程：隐函数导数与设而不求技巧

本文讨论椭圆的切线以及切点弦方程问题。

过椭圆外一点P可以作椭圆的两条切线L₁和L₂，连接两个切点可得一条切点弦MN。如果椭圆方程为：

过椭圆外一点P(x₀,y₀)，引椭圆的两条切线L₁和L₂，设切点分别为M(x₁,y₁)和N(x₂,y₂)，则椭圆的两条切线方程为：

下面来证明这个结论。

过椭圆上任意一点的切线斜率可以通过隐函数求导的方法得到。

求过椭圆上一点M(x₁,y₁)的切线方程，无论上半个椭圆还是下半个椭圆，其上一点的切线的斜率应等于函数的导数，这个函数关系无需写成显式的y=f(x)，对椭圆方程按隐函数求导即可。求导时，y²项可视为y的函数，而y又是x的函数，因此(y²)'=2yy'，于是x=x₁处的导数计算如下：

于是过椭圆上切点M(x₁,y₁)的切线方程L₁为（采用点斜式）：

同理可得到过椭圆上另一切点N(x₂,y₂)的切线L₂方程为：

下面来计算切点弦的方程。如果过椭圆外一点P(x₀,y₀)作椭圆的两条切线L₁和L₂，显然(x₀,y₀)应满足L₁和L₂的方程，因此有：

显然，M、N的坐标均满足如下的直线方程：

因此上式就是过椭圆外一点P(x₀,y₀)所作两条切线的切点所成的切点弦MN的方程。

在计算切点弦方程时应用了所谓“设而不求”的技巧，这个方法是解析几何中中的一个常用技巧。读者可以仔细体会这种方法的好处。

本文所介绍的方法，同样适用于计算其他圆锥曲线的切线以及切点弦问题。

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