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一、引言 动力学问题的有限元法归结为求解一组二阶线性常微分方程组。具体求法可分为直接积分法和振型叠加法。振型叠加法需要对方程进行变换，计算速度较快。缺点是限于线性问题，同时仅考虑了少数低阶振型的影响。直接积分法直接对动力学方程在时间域离散，求各个时刻的解。这种方法在大型软件中应用的十分广泛。由于动力学问题涉及位移对时间的二阶导数，因此在时间域的离散要基于时域差分。根据差分格式，直接积分法又可以分为显式和隐式两类。显式差分优点体现在在大型非线性分析中。非线性问题的增量时间步长是由问题本身决定的，仅在方程解法上提高临界时间不长不一定能保证问题的收敛。而显式差分不存储总刚，不解方程组，极大地减少了运算量和内存需求，缺点是时间和空间步长的选择受限制，通常要求时间步长足够小。隐式差分需要在每一个时刻都要求解方程，占用内存较大，但是在时间和空间步长的选择上不受限制。常见的中心差分法属于显示差分格式，而Wilson法、Newmark法都属于隐式差分法（Newmark法在参数分别取1/2,1/6时退化为参数为1的Wilson法）。
具体来说，中心差分法比较适合于求解冲击、爆炸类载荷引起的波传播问题，不适用于求解结构动力学问题。结构动力学问题一般主要关心结构的低频成分，允许采用较大步长，不受制于临界步长的选择；同时动力学响应的时间尺度一般远大于波传播问题的尺度，因此过小的步长将增加无意义的运算量。 基于以上分析和本文的篇幅、作者水平的限制，本文将着眼于简单结构的动力学响应。具体来说，本文采用了Newmark法计算分布质量梁的受迫振动，不考虑剪切对梁弯曲的影响，采用一致（协调）质量矩阵，即假定单元质量集中在节点上。所谓一致，是由于伽辽金法导出的质量和刚度矩阵是基于同一位移插值函数。一致质量矩阵加大了运算量，但是计算精度要高于集中质量矩阵。集中质量矩阵一般采用较低阶的插值函数，在同样精度要求下，尤其是对于非线性的显式方法，对角式的集中质量矩阵极大减小了运算量（不需要对等效刚度矩阵分解）。因此对于本文考虑的问题，一致质量矩阵更合适。
三、程序设计 有限单元法王勖成电子书籍下载本次编译在Visual Studio 2019下集成FORTRAN编译器进行。本次编译完全放弃了基于FORTRAN77编写的FEP1和FEP2的程序，但是考虑了模块化的思想，在FORTRAN90下按照自由格式编写。作者在编译过程中，尽量把东西全都模块化。但是由于动力学问题的限制，主程序需要进行差分和循环，即程序框图中的4-10步骤。其中包括多次求解方程组等，对于简单问题，现代PC的运算能力完全足够。
(这两列分别是插值的载荷信息和程序输出信息） |
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