线性代数选讲（一）

简介

尽管有点夸张，可以说，只有将数学问题简化为线性代数中的计算，才能解决数学问题，而线性代数中的计算最终将简化为线性方程组的求解，而线性方程组的求解又归结为矩阵的操作。更重要的是，线性代数是一个关键工具（或者更准确地说，是一个交织工具的集合），对于进行计算至关重要。

线性代数的威力不仅在于我们处理矩阵以解线性方程组的能力。将这些具体对象抽象为向量空间和线性变换的概念，使我们能够看到许多看似不同的主题之间的共同概念联系。（当然，这是任何好的抽象的优点。）例如，研究线性微分方程的解在某种程度上与试图用三次多项式建模汽车引擎盖的感觉相同，因为线性微分方程的解空间和建模汽车引擎盖的三次多项式空间都形成向量空间。

线性代数的关键定理，给出了许多等效的方法来判断n个未知量中的n个线性方程组何时为解。每个等效条件都很重要。线性代数的魅力在于，它们都是相同的。

基本向量空间

最基本的向量空间是，实数的所有n元组的集合

这是一个向量空间，我们可以将两个n元组相加，得到另一个n元组:

可以将每个n元组乘以一个实数，得到另一个n元组:

当然，每个n元组通常被称为向量，实数被称为标量。当n=2和n=3时，可归结为平面和空间中的向量，我们大多数人在高中时学过。

从不同向量空间到的映射，是通过矩阵乘法实现的。

列向量表示如下：

类似地，可以将中的向量作为具有m个元素的列向量表示：

则为m-元组：

对于中的任意两个向量x和y，以及任意两个标量和，有下列等式：

线性方程组

给定了m个数字和mn个数字，我们的目标是找到n个数字，满足下面的线性方程组:

线性代数计算通常会简化为求解线性方程组。当只有几个方程时，我们可以手工求解。但随着方程数量的增加，计算很快就从令人愉快的代数运算变成了噩梦。这些噩梦般的复杂情况并非源于任何单一的理论困难，而是源于试图跟踪许多个小细节。换言之，这是簿记的问题。

换个直观的方式表达问题。记：

，为已知参数，并记待求解量为

我们可以用更直观的形式重写我们的线性方程组：

当（当方程比未知数多时）时，我们预计通常不会有解。例如，当m=3和n=2时，这在几何上对应于平面上的三条线通常没有公共交点的事实。当m<n时（当未知量比方程多时），我们预计会有很多解。在m=2和n=3的情况下，这在几何上与空间中的两个平面通常在一条直线上相交的事实相对应。线性代数的许多机制处理剩下的情况，即当m=n时。

也就是说，我们想找到满足的列向量，其中A是给定的矩阵，b是给定的列向量。

假设平方矩阵A有一个逆矩阵（这意味着也是，更重要的是，是单位矩阵），那么，我们的解将是

解线性方程组的问题，转化为求解矩阵A是否有一个逆矩阵。（如果存在逆矩阵，那么就有计算它的算法）。线性代数的很多关键定理，就是判断一个矩阵是否可逆。