中国古算解趣

中国古算解趣

苏武牧羊

当年苏武去北边，不知会了几多年。分明记得天边月，二百三十五番圆。答曰:一十九年。

苏武是西汉的使者，在公元100年奉命出使匈奴，被匈妈扣留并多方威协诱降，始终坚贞不屈，大义凛然。后被流放北海(今贝加尔湖)牧羊，生活非常艰苦，不知过了多少年月，只记得天上月亮整整圆了235次，问苏武流放了多少年?

这是一个简单的小学数学题，用算式表示就是：235÷12=19……？

本题不能答为十九年零七个月。因为很据中国农历十九年应有七个闰月，所以苏武在北海流放了十九年，直到匈奴与汉朝和好才遭遇同国。

古往今来 为什么规定十九年七闰

这是一个必须了解的实际问题，千百年来汇集了几十代数学家、天文学家的智慧和心血。

大家知道，地球绕太阳一周所需的日数为一年。月亮烧地球一周所需的日数为一月。通常认为一一年是360天，一月是30天，这样一年共有360÷30＝12个月。其实这是很不精确的数据。

我国对历法的研究有着悠久的历史，积累了大量的数据有丰硬的研究成果。秦始皇统一六国以后，根据长期观测的数

据，定一年为365天又1/4天，一月为29又499/940天。依据这个结果颁布了统一的历法，叫颛顼历(zhuān，xū是传说中古代部族的领袖，号高阳氏。实际上颛顼历在周朝末年已经制定，秦朝统一施行)。这样一年应有

粒米求程

庐山山高八十里，山峰顶上一粒米。黍米一转只三分 。几转转对山脚底。答曰:四百八十万

本题是说庐山从山顶到山脚有一条80里长的道路，山顶上有一粒黍米，滚动一周，行程3分，问沿看这条路滚到山脚底，共转了多少周?

需要说明的是，这是一个明代的题，取明朝的虚悬制度1步-5尺.1里-360步。

解因为，1里-360步，1步=5尺=500分

80x360x500+3-4800000(转)

所以，黍米转了480万转。

中算典故 积零起度

这是一个很简单的四则趣题。为什么借“季米”来命题呢?这与我国度量衡制度形成的历史背景有关。这里我们讲一个“积黍起度”的典故。

数学源于生活，度量衡制度的建立是生活的需要。何谓度最衡?“度，乃分别长短之法也”。“量，乃分别多寡之法也”。

 “衡，乃分别轻重之法也”。古代建立度量衡制度的“标准参照物”是什么呢?《说苑·辨物篇):"度量权衡，以黍生之。十黍为一分，十分为一寸，十寸为一尺，十尺为一丈。《汉书·律历志》云:"以子谷柜(jù)黍中者度之，九十分为黄钟之长，十黍为分，十分为寸，十寸为尺，十尺为一丈"《汉书·律历制》云：“以子谷柜（jū）黍中者度之，九十分为黄钟之长，十黍为分，十分为寸，十寸为尺。”当时，还确定以山西上党境内者为佳，所谓“积事为度”就是以一定数量的中等柜乘积累起来，作为度量的基本单位。

量的单位是以中等柜黍一千二粒为一勺，十勺为一合(gě)，十合为一升，十升为一斗，十斗为一斛(hú)。

衡的单位是定一勺重十二铢，二十四铢为一两，十六两为一斤，三十斤为一钧，四钧为一石(dán)。

需要说明的是度量衡起源的标准并不统一。在人类社会的早期，各人样，部落约定不同的标准是可能的，传说我国夏禹以自己身高定为一丈。又如《孙子·算经)载:"度之所起于忽，欲知其忽，蚕吐丝为忽，十忽为一丝，十丝为一毫，十毫为一厘，十厘为一分，十分为一寸。……。称之所起，起于黍，十黍为一垒“辛。十垒为一铢，二十四铢为一两。……。量之所起于粟，六粟为一圭(gūi)，十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，……"起源之说虽然不一，从中可以看出，我国以农业立国，度量权衡，无一不与农业有关，但最终要靠国家立法，定为制度。

春秋战区时代，各国各自为政，度量制度很不统一。秦始皇统一六国以后，规范了文字，统一了货币和度量衡。这样秦制就成了我国度量制度的基础，一直延续下来。

排鱼求数

三寸鱼儿九里釣，口尾相衔，直到头。试问鱼儿多少数，请君对面说因由。答曰:五万四千个

这是给儿童们计算的一道游戏题，目的在于巩固乘除运算方法。

已知3寸长的小鱼一个一个头尾相接排在一条9里长的水沟中，请同一共有多少条鱼?

按照明朝的度量制度，1里=360步， 1步=5尺=50寸。

所以鱼的个数量是

9x360x50÷3＝3240x50÷3=54000(条)

古往今来 我国古代的计量制度

长度:引、丈、尺、寸、分五种长度单位，合称五度，都是十进。其下还有厘、毫、秒、忽四种十进长度单位。

土地丈址中还有长度单位“步”，中国古代所说的步相当于今“步”的二倍。

秦汉时规定:1步=6尺，1里=300步=1800尺

这个制度一直沿用到唐代，自唐以后改为:1步=5尺，1 里=360 步。

此外，量布时还有单位“匹”;1匹=4丈。

地积:1亩~60方丈=240方步，1顷=100亩。

容积:《汉书·律历志》载，斛、斗、升、龠(yue)、合(，合称五量，其中1合=2龠，其余都是十进。

重量:《汉书·律历志》载，石、钧、斤、两、诛合称五权，其进制是

1石=4钧，1钩-30斤，1斤-16两，1两-24铢

时间:相传我国在夏朝(四千多年前)就有了历法，所以叫“夏历”，又叫农历。一年分12 个月，大月 30 天，小月 29天，闰年加一个月。全年354日。1日分12 个时辰，子正在午夜0时，子时在夜11时整，子终在凌晨1时整。白天、黑夜各6个时辰，白天从卯初起算，黑夜终止完了。

现在国际上规定了一套统一的单位叫做国际单位制，简称 SL，我国于1984年宣布，采用国际单位制为本国法定单位的基础。

长度单位为米，记以“m”。起初规定，1m等于通过法国巴黎的地球子午线总长的四千万分之一。根据这个规定，测得光速为299792458米/秒(即人们常说的每秒30万公里)。由于光速的恒定性，1983年作出了更严密的规定。即1m等丁光在真空中1/299792458 秒的时间所走的距离。

要注意公制和市制的换算关系;

1米=3尺，1公里=2市里，1市里-500米

1公顷=10000平方米=100公亩=15市亩，1市亩=60平方丈

关于古制和今制的换算，根据专家们对秦汉时期文物的测定，以下数据可供参考

1尺≈23.1厘米，1斤≈250克，1升≈200立方厘米

这些关系建立了古今联系，在研究、分析古代一些社会经济问题时还是很有用的。

例：秦始皇在位期间，建造了许多豪华的宫殿，其中阿房宫最为华丽。据记载，"前殿东西500步，南北 50丈，可坐1万人，能竖5丈高的旗杆。试按今制计算一下这个宫殿的建筑面积和旗杆的高度。

解东西长:500步＝500x6尺=3000 尺

=3000x0.231米≈693米，南北长:50丈-500尺≈115.5米

面积:69.3x115.5＝80041.5平方米≈120亩，旗杆高:50x0.231≈11.6米

三藏取经

三藏西天去取经，一去万八千程。每日常行七十五， 问公几日得回程。答曰，一千四百四十日

这是根据(西游记》中的故事编写的一道趣题，练习简单的四则运算。三藏是指唐代高僧玄奘，俗称唐僧，受唐朝派遣，到印度钻研佛教典籍，译出经、论七十五部，一千三百三十五卷，促进了中印文化的交流。

三藏按原文来说是佛教经典的总称。它分为经、律和论三类，通常对通晓三藏的僧人尊称其为“三藏法师”。

本题是说，唐僧去西天取经，一共走了十万八千里。已知他每天走七十五里，问一共走了多少天?  108000÷75＝1440(天)，1440÷360-4(年)

所以，房僧去西天取经共走了1440天，合 4年。

以碗知僧

题目为：巍巍古寺在山中,不知寺内几多僧.三百六十四只碗,恰合用尽不差争.三人共食一碗饭,

四人共进一碗羹.请问先生能算者,都来寺内几多僧.

以碗知僧的解题思路为：

解：设有x个和尚x人，则：x／3＋x／4＝364即：7/12 X=364解得 x＝624

所以有624个和尚。以碗知僧方程的过程

巍巍古寺在山中， 不知寺内几多僧。

三百六十四只碗， 恰合用尽不差争。

三人共食一碗饭， 四人共进一碗羹。

请问先生能算者， 都来寺内几多僧。

算术方法：

方法一：34÷7=52【组】52×12=624【人】

方法二：3和4的最小公倍数是12【12人】 12÷3=4【个】12÷4=3【个】3+4=7【只碗】

364÷7=52【组】52×12=624【人】

答：都来寺里共有624位僧人。

初一数学一元一次方程

草地上有一根木桩，把一只羊用绳子系在木桩上．如果绳子长3米，这只羊最多可以吃到多少平方米的草？（打结处忽略不计）

2016.09.28浏览73次教育科学分享举报

试题难度：难度：中档 试题类型：解答题 试题内容：草地上有一根木桩，把一只羊用绳子系在木桩上．如果绳子长3米，这只羊最多可以吃到多少平方米的草？（打结处忽略不计）

试题答案：3.14×32，

=3.14×9，

=28.26（平方米），

答：这只羊最多可以吃到28.26平方米的草．

浮屠增级

远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；

共灯三百八十一，请问尖头几盏灯。

这是出自明代数学家吴敬《九章算法比类大全》书中的一道计算题，它的意思是说：

从远处看到一座雄伟的7层宝塔，每层都挂着红灯笼。宝塔从上到下每层灯笼数量都是上一层的2倍。已知整座宝塔共有381盏，请问宝塔顶层有几盏灯？

解题思路

这个问题是个简单的“等比问题”，7层塔，灯上少下多，假如最上面一层有X盏灯（算做一份）；共381盏灯。顶层X盏灯，算做一份，那7层共多少份灯呢？1+2+4+8+16+32+64份

每份有多少灯呢？381÷(1+2+4+8+16+32+64)

李白沽酒

李白无事街上走，提着酒壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗。三遇花和店，喝光壶中酒。就

问此壶中原有多少酒？这首诗，是什么意思？...

解：这是一道流传极广的数学名题。始见于我国宋元时期数学家朱世述的《四元宝鉴》。

题目的意思是：

唐代的大诗人李白，提着酒壶去沽酒。他每遇到一个店，就把壶中的酒加上一倍，每见到一次花，来了诗兴，就要喝一斗酒。就这样，三次遇上店和花，壶中的酒便喝光了。大诗人的壶中原有多少酒呢？

解法一：方程：

设：壶中原有X斗酒。

一遇店和花后，壶中酒为：2X-1；

二遇店和花后，壶中酒为：2(2X-1)-1；

三遇店和花后，壶中酒为：2[2(2X-1)-1]-1；

因此，有关系式：2[2(2X-1)-1]-1＝0；

解得：x=7/8；

解法二：算术法：

经逆推理得：经逆推理得：

最后遇花喝一斗前：0+1=1；

最后遇店加一倍，则原有:1÷2=1/2；

第二次遇花喝一斗，原有：1/2+1=3/2；

第二次遇店加一倍，则原有：3/2÷2=3/4；

第一次遇花喝一斗，原有：3/4+1=7/4；

第一次遇店加一倍，则原有：7/4÷2=7/8

综合以上得7/8斗

隔墙听客

隔墙听得客分银,不知人数不知银,七两分之多四两,九两分之少半斤.(注:古秤十六两为一斤)

数学趣题．

隔着墙壁听见客人在分银两，不知人数不知银两的数量。若每人分七两，还多四两；若每人分九两，则不足八两。问有多少客人？银多少两？

设有x个客人，有y两银子，依题意得：

7x＝y－4

9x＝y＋8

解之得x＝6，y＝46

答：共有6人，46两银子。

蒲莞同高

莆日生三尺,莞日生一尺,莆日生自半,莞日生自倍,问几何日莆莞等长?

到第2天末，蒲长为3 + 1.5 = 4.5，莞长为1 + 2 = 3，4.5 > 3，不足4.5 - 3 = 1.5尺；

到第3天末，蒲长为4.5 + 0.75 = 5.25，莞长为3 + 4 = 7，5.25 < 7，有余7 - 5.25 = 1.75尺。

于是知道是在第三天初到第三天末之间生长到同一长度的，这期间它们生长速度分别为0.75尺/天，4尺/天。

于是用它们长度的差除以速度的差得到追齐的时间：

1.5 / (4 - 0.75) = 6/13 天。或1.75 / (4 - 0.75) = 7/13 天。

于是所用总时间为：2 + 6/13 天

也就等于：3 - 7/13 天。

今有蒲生一日，长三尺。莞生一日，长一尺。蒲生日自半。莞生日自倍。问几何日而长等？

答曰：二日、十三分日之六。

各长四尺八寸、十三分寸之六。

术曰：假令二日，不足一尺五寸。令之三日，有余一尺七寸半。

三翁垂钓

三翁垂钓问题：三老翁甲、乙、丙合伙钓鱼并

三老翁甲、乙、丙合伙钓鱼并将所钓的鱼放在一起。钓毕，甲将鱼均分为三堆，多一条扔去，自取一堆；乙来后，误以为鱼未分，将所剩的鱼放在一起，均分三堆，多一条扔去，自取一堆； 丙来后亦同乙一样，将两堆鱼合在一起，均分成三堆，多一条扔去，自取一堆，问鱼的总数是多少？

共钓了28条，甲：9条 乙：6条 丙：4条

折竹抵地（源自《九章算术》）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？答：折断处离地面4.55尺（意：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？）

试题答案

分析;根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．

解答 解：设折断处离地面x尺，根据题意可得：

x2+32=（10-x）2，

解得：x=4.55，

答：折断处离地面4.55尺．

故答案为：折断处离地面4.55尺．

点评：此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．

系羊问索把一只羊用绳子系在一片草地中的木桩上,如果用绳子长8米,这只羊最多可以吃多少平方米的草? 2:有一根38米长的铜线,绕一个线圈40圈好余下0.32米,这个线圈的直径是多少米?

1 半径8米的圆 就是64派 2 （ 38-0.32）/40派 再根号 就出数了

凫雁相逢

一般指野鸭。本题说，野鸭从南海飞往北海，需要7天，雁从北海飞往南海需要9天。今二鸟分别从南、北海同时起飞。同多少天后二乌相逢?

本题虽然简单，在中算书籍里却很典型，它反映了我国数学家处理分数问题时的基本思想方法，这种思想方法叫齐同术。用现代的话说，化异分母为同分母叫同其母，要保持分数值不变，必须齐其分子，齐同以后才可以进行加减运算。为使读者了解古人的解题思想，今引其解法，并略加说明。

术曰:并日数为法，日数相乘为实，实如法而一。

“按此术，置凫七日一至，雁九日一至，齐其至，同其日。定63日凫9至，雁7至。今凫雁俱起而同相逢者，是为共至，并齐以除同，即得相逢日。”

这段话的意思，用一个数表来表示，即

日/至7 9，1 1/同其日/齐其至 63  63 ，9  7/并齐至为齐至 63   9＋7/

即 63 日相逢 16 次，故相逢日数为

最-3%(日)相逢16次，故相逢日数为：63/7+9=63/16—3又15/16（日）

刘徽又给出另一解释:凫日飞全程的1/7。雁一日飞全程的1/9，按同其日齐其至的要求，分别记为9/63和7/63，若把南北的距离设想为飞63天的话，则凫雁共飞9+7-16次，所以相逢日数是

63/16=3又15/16（日）

以碗知僧

巍凯古寺在山中，不知寺内几多僧。二百六十四只碗，恰合用尽不差爭。三人共食一碗饭，四人共食一碗羹。请问先生能算者，都算寺内几多僧？

答曰:六百二十四人，饭碗二百零八只，羹碗一百五十六只

环山相会

今有封山用槐三百二十五里，甲、乙、丙三人照绕用栈而行，甲日行-百五十里，乙日行一百二十里，丙日行九十里，问同向几何日会?

答曰：十日六分日之五

船缸均载

三百六十一只缸，任君分作几船装。不许一船多一只， 不许一船少一缸。答曰:一十九只

今有水缸361只，分装在若干个船上，要求每船所装的红数相等，问共需多少只船?每船装几只缸?

解：因为361=19x19

所以需要 19 只船，每船装 19 只缸。

说明:一般初中数学中，要求学生能熟记20以内的完全平方数。所以本题应能一口报出答案来。

系羊问索

矿野之地有个坡，坡上系着一只羊。团团踏破三合二， 试问羊绳几丈长。答曰:绳长八丈

一条绳索系着一只羊，羊踏坏一块面积为3.2亩的圆形庄稼，试求绳索的长度(取明制1步=5尺，1亩-240方步，π约取 3)。解先将圆的面积化为平方步，3.2x240-768(方步)

设圆的半径为r则面积S＝πr平方-3r平方，由3r平方=768，r平方＝256

所以S-16步。将步化为尺，得r=16x5-80(尺)

推车问里

二人推车忙且替， 半经轮该尺九五。一日推转二万里，问君里数如何数。答日:一百三十里

本题是指由二人一批一拉的独轮车，已知车轮半轻为一尺九寸五分，一日推转二万周，问日行多少里?

注意:题中取明代的度量制度，1步-5尺，1里-360步，题中圆周率π≈3(这是近似地估算，平时计算中不能取3）

解已知车轮半径r=19.5寸，其周长c＝2πr=117寸,车轮每日转二万周，共行程

117x20000＝2340000(寸)

按明代计量制度

1里=360步=360x50寸=18000寸

故每日行程

2340000÷18000=130(里)

僧分馒头

一百馒头一百僧，大和三个更无争。小和三人分一个， 大和小和得几丁。

答日:大和尚二十五人，分得慢头七十五个。小和尚七十五人，分得慢头二十五个

这是我国家喻户晓的一道名题，通常作为小学训练思维的心算题。

今有大小和尚共100人，分食100个馒头。已知大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，问大小和尚各有多少人?他们分别分到多少个馒头?

解法1，中算古法

大和尚1人 分馒头3个，小和尚3人 分馒头1个。合计和尚4人 馒头4个

从给定的条件看来，4个和尚分4个馒头，它们的结构比例是:大和:小和=1：3.并且，大和分的馒头数:小和分的馒头数=3:1.现在已知100个和尚分100 个谩头，按此比例很容易求得

大和尚

100÷(3＋1)=25(人)

小和尚

100÷4×3＝75(人)

大和尚分漫头

25x3-75(个)

小和尚分设头

75÷3=25(个)

解法2 列方程解应用题

设大和尚有x人，小和尚有y人，则

z＋y＝100,3x+1/3y＝100

客去忘衣

今有客马日行里百里，客告忘拎衣，日已三分之一，主人乃觉，拎衣追及用之归还，至家，用

日四分之三。问主人马不休，日行儿何?

答曰，七百八十里

已知客人骑的马日行300里，客人走后1/3日，主人发觉客人有衣服忘记带走，于是立刻骑马追上，把衣服还给客人以后立即骑原来的马还家。到家时正好是3/4日。问主人马速日行多少里?

注意:在我国古代白天的开始是卯初(即现今5时整)白天的终了是酉初(即现今17时整)，因此从卯初至酉初12小时为1日。

解法1 算术法

这是一个简单的追及问题，时间以“日”为单位。主人追到客人又回到原地，往返所走的时间是：3/4－1/3＝5/12(日)

主人追到客人单程所用的时间为 1/2×5/12＝5/24(日)

客人被主人追到时行走的时间是 5/24+1/3＝层13/24(日)

这时客人行走的距离为 300x13/24＝1621/2(里)

所以，主人的马速为 162÷5=780(里/日)

我国古代把“今有术”称为“通术”。对有些题目，通过数量关系的分析转化为比例问题来求解。

解法2比例法：在上题数指的基础上，已求得主客相遇时，主行时间

诵课倍增

有个学生心性巧，一部孟子三日了。每日增是一倍" 问看每日读多少

答曰:头一日读四千九百五十五字，第二日读九千九百-十字，第三日读一万九千八百二十字。