图文解析｜推荐一：两道压轴试题（几何、代数综合各一道）

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【试题1】如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接BD交CE于点F．

（1）如图2，当α＝45°时，求证：CF＝EF；

（2）在旋转过程中，

①问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；

②连接CD，当△CDF为等腰三角形时，求tanα/2的值．

【图文解析】

（1）仅举一种解法：

（2）典型的等腰直角三角形的旋转问题，常有多种“旋转”法求解（本质类似）：

从已知条件，结合图形可以得到的结论：

①结论仍然成立．证明如下：

【法一】过点E作EM∥BC交BE的延长线于M，如下图示：

先证∠M＝∠CBD＝∠EDM，得EM＝DE＝BC，再证△BCF≌△MEF，得CF＝EF．

【法二】如下图所示：

【法三】过C点作CM∥BF将ED的延长线于M，连接CM．如下图示：

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【法四】过C点作CG⊥CF交BF于G．如下图示（其中∠CFG＝45°前面已证）

【法五】过点D作DG⊥DF交CF于点G，如下图示：

进一步，得∠AFE＝∠ADE＝90°．如下图示：

最后利用等腰三角形△ACE“三线合一”，得到CF＝EF．

【法六】过E点作EG⊥CE交BF的延长线于点G，如下图示：

【法七】过B点作BG⊥BF交EC的延长线于点G，如下图示：

得到∠AFB＝∠G＝45°，进一步得到∠AFB＝90°，即AF⊥CE，再根据等腰三角形“三线合一”得到CF＝EF．

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【法八】过C点作CG⊥BF于G，如下图示，

不难证得CF：CG＝CA：CB＝√2：1．

进一步，得△BCG∽ACF，如下图示：

从而∠AFC＝∠BGC＝90°，下同……

【法九】由∠CFB＝∠CAB＝45°，利用“统一法”或“反证法”证明：A、B、C、F四点共圆，得到AC为其直径，得到∠AFC＝90°，进一步……（此法不建议）

【法十】添加如下图所示的辅助线．

同时，通过证明B、G、C、H四点共圆，可得∠GCB＝∠GHB．

另一方面，BF：BG＝AB：BH＝√2：1，且∠GBH＝∠FBA＝45°+∠FBH，得到△GBH∽△FBA，得到∠GHB＝∠BAF．

从而∠BAF＝∠GCB，进一步，得∠BAF+∠BCF＝180°．又在四边形ABCF中，∠ABC＝90°，根据四边形内角和为360°，得∠AFC＝90°，即AF⊥CF．……

【原题再现】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接BD交CE于点F．在旋转过程中，

②连接CD，当△CDF为等腰三角形时，求tanα/2的值．

【图文解析】可以充分利用第二小题的相关思路和解法，进一步求解第三小题（本文仅提供一种解法）。

前面已经得到的结论：

当∠CDF＝90°时，如下图示：

所以tanα/2＝1/2．

当∠CDF＝90°时，如下图示：

【反思】上述第二问的多种解法，多数是充分利用45°的角的“特殊功能”，本质类似于旋转，显然本题还可以利用其他相关条件通过对称、平移、旋转等构造等腰直角三角形，也可以利用辅助圆等，大同小异，有兴趣的朋友不妨试试，并请留言分享。 

【试题2】如图，抛物线y=ax²+bx与x轴相交于O、A两点，顶点D在第一象限，点P在该抛物线上.

（1）若点P坐标为（1，3）.

①求b与a的函数关系式；

②已知两点M (2，0)，N (5，0)，当抛物线y=ax²+bx与线段MN没有交点时，求a的取值范围；

（2）若P点在该抛物线的曲线段OD上（不与点O，D重合），直线DP交y轴于点C，过P点作PB⊥x轴于点B，连接DA，CB.求证：DA∥CB.

第一①问

解析：

（1）①直接将点P的坐标代入抛物线解析式，得a+b=3，所以b=3-a．

第一②问

【问题】抛物线y=ax²+bx与x轴相交于O、A两点，顶点D在第一象限，点P在该抛物线上.

（1）若点P坐标为（1，3）.

②已知两点M (2，0)，N (5，0)，当抛物线y=ax²+bx与线段MN没有交点时，求a的取值范围；

【图文解析】

法一：当抛物线经过点N（5，0）时，25a+5(3-a)=0，解得a=-3/4．如下图示，

 

结合图象，知：当-3/4＜a＜0，抛物线与线段MN没有交点；

当抛物线经过点M（2，0）时，4a+2(3-a)=0，解得a=-3；如下图示：

 

结合图象，知：当a<-3，抛物线与线段MN没有交点；

综上所述，当a<-3或-3/4＜a＜0时，该抛物线与线段没有交点.

法二：结合上述图象，知：分以下两种情况．

（Ⅰ）当抛物线y=ax²+(3-a)x与x轴的另一个交点((a-3)/a，0)位于M（2，0）点左侧时，抛物线与线段MN没有交点，又抛物线的顶点在第一象限，开口向下，所以(a-3)/a<2且a<0，

（Ⅱ）当抛物线y=ax²+(3-a)x与轴的另一个交点在N (5，0)点右侧时，抛物线与线段MN没有交点，所以(a-3)/a＞5且a<0，

综上所述，当a<-3或-3/4<a<0时，该抛物线与线段MN没有交点.

第二问

【问题】如图，抛物线y=ax²+bx与x轴相交于O、A两点，顶点D在第一象限，点P在该抛物线上.

（2）若P点在该抛物线的曲线段OD上（不与点O，D重合），直线DP交y轴于点C，过P点作PB⊥x轴于点B，连接DA，CB.求证：DA∥CB.

【图文解析】

抛物线y=ax²+bx=a(x-h)²+k，其中h=-b/(2a)，k=-b²/(4a)．

过点D作DH⊥x轴于点H，如下图：

将（0，0）代入y= a(x-h)²+k，

得k=-ah²．得k/h=-ah．

设直线DP的解析式为y=m(x-h)+k，将点P（t，a(t-h)²+k）代入，得

a(t-h)²+k＝m(t-h)+k．得m=a(t-h)．

所以直线DP为y= a(t-h) (x-h)+k．

当x=0时，

y= -ah(t-h)+k=-ah(t-h) -ah²

=-aht =kt/h．

得C（0，kt/h），所以OC＝kt/h．

如下图示，分别在Rt△BOC和Rt△AHD中，得OC/OB＝DH/AH＝k/h，所以Rt△BOC∽Rt△AHD，得∠OBC＝∠HAD，所以DA∥CB．

下面是试卷中提供答案：

——完——