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一．选择题（共1小题） 1．如图，点P是以AB为直径的半圆上的动点，CA⊥AB，PD⊥AC于点D，连接AP，设AP＝x，PA﹣PD＝y，则下列函数图象能反映y与x之间关系的是（ ） A． B． C． D． 二．解答题（共59小题） 2．某公园计划砌一个形状如图（1）的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，请你比较两种方案，确定哪一种方案砌各圆形水池的周边需用的材料多？（友情提示：比较两种方案中各圆形水池周长的和） 3．如图，某体育训练基地，有一块边长为（6m+5n）米的正方形土地，现准备在这块正方形土地上修建一个长为（2m+3n）米，宽为（m+2n）米的长方形游泳池，剩余部分则全部修建成休息区域．（结果化简） （1）求休息区域的面积； （2）为了满足更多人需求，现要扩大游泳池，使游泳池的长增加（2m+n）米，宽增加（3m+n）米，正方形土地的面积不变，则扩大游泳池后休息区域的面积是多少？ 4．观察下列各式： 13+23＝1+8＝9，而（1+2）2＝9，∴13+23＝（1+2）2； 13+23+33＝36，而（1+2+3）2＝36，∴13+23+33＝（1+2+3）2； 13+23+33+43＝100，而（1+2+3+4）2＝100，∴13+23+33+43＝（1+2+3+4）2； ∴13+23+33+43+53＝（ ）2＝ ． 根据以上规律填空： （1）13+23+33+…+n3＝（ ）2＝[ ]2． （2）猜想：113+123+133+143+153＝ ． 5．贵州省清镇体育训练基地，有一块边长为（2m+3n）米的正方形土地（如图所示），现准备在这块正方形土地上修建一个长为（2m+2n）米，宽为（m+n）米的长方形游泳池，剩余部分（图中阴影部分）修建成休息区域． （1）试用含m，n的式子表示休息区域的面积；（结果要化简） （2）若m＝15米，n＝10米，求休息区域的面积． 6．在日历上，我们发现某些数会满足一定的规律，比如2016年1月份的日历，我们设计这样的算法：任意选择其中的2×2方框，将方框中4个位置上的数先平方，然后交叉求和，再相减 请你按照这个算法完成下列计算，并回答以下问题 [2016年1月份的日历]
（1）计算：（12+92）﹣（22+82）＝ ，（102+182）﹣（112+172）＝ ，自己任选一个有4个数的方框进行计算 （2）通过计算你发现什么规律，并说明理由． 7．材料一：如果10b＝n，那么b为n的劳格数，记为b＝d（n），由定义可知：10b＝n与b＝d（n）所表示的b、n两个量之间的同一关系．例如：101＝10，d（10）＝1； 材料二：劳格数有如下运算性质：若m、n为正数，则d（mn）＝d（m）+d（n） （1）根据劳格数的定义，填空：d（102）＝ ，d（10﹣2）＝ ； （2）若d（2）＝0.301，求d（4）+d（16）的值； （3）已知d（3）＝2a+b，d（9）＝3a+2b+c，d（27）＝6a+2b+c，证明：a＝b＝c． 8．你能化简（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论． （1）先填空：（a﹣1）（a+1）＝ ；（a﹣1）（a2+a+1）＝ ； （a﹣1）（a3+a2+a+1）＝ ；… 由此猜想（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）＝ ． （2）利用这个结论，你能解决下面两个问题吗？ ①2199+2198+2197+…+22+2+1； ②若a5+a4+a3+a2+a+1＝0，则a6等于多少？ 9．阅读理解：“速算”是指在特定的情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性．如：末位数字相同，首位数字和为十的两位数相乘，它的方法是：两首位相乘再加上末位的数作为前积，末位的平方作为后积（若后积是一位数则十位补0），前积后面添上后积就是得数． 如：84×24＝100×（8×2+4）+42＝2016 42×62＝100×（4×6+2）+22＝2604 （1）仿照上面的方法，写出计算77×37的式子 77×37＝ ＝ ； （2）如果分别用a，b表示两个两位数的十位数字，用c表示个位数字，请用含a、b、c的式子表示上面的规律，并说明其正确性； （3）猜想4918×5118怎样用上面的方法计算？写出过程．并仿照上面的方法推导出：计算前两位数和为一百，后两位相同的两个四位数相乘的方法． 10．在求1+2+22+23+24+25+26的值时，小明发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的2倍，于是他设：S＝1+2+22+23+24+25+26①然后在①式的两边都乘以2，得：2S＝2+22+23+24+25+26+27②；②﹣①得2S﹣S＝27﹣1，S＝27﹣1，即1+2+22+23+24+25+26＝27﹣1． （1）求1+3+32+33+34+35+36的值； （2）求1+a+a2+a3+…+a2013（a≠0且a≠1）的值． 11．如图所示，长方形ABCD是“阳光小区”内一块空地，已知AB＝2a，BC＝3b，且E为AB边的中点，DFBC，现打算在阴影部分种植一片草坪，求这片草坪的面积． 12．如图，在长方形ABCD中，点Q在边CD上（不与点C、D重合），将长方形ABCD绕点Q顺时针旋转90°后，得到长方形A1B1C1D1，且重叠部分的四边形PCQD1是长方形．如果AB＝a，BC＝b，CQ＝x．（b＞a＞0） （1）用含有a、b、x的代数式表示△QDC1的面积S1和△A1BP的面积S2． （2）求六边形ABA1B1C1D的面积S，并进行化简． 13．探究应用： （1）计算（a﹣2）（a2+2a+4）＝ ；（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝ ． （2）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式： （请用含a．b的字母表示）． （3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是 ． A．（a﹣3）（a2﹣3a+9）B．（2m﹣n）（2m2+2mn+n2） C．（4﹣x）（16+4x+x2） D．（m﹣n）（m2+2mn+n2） （4）直接用公式计算： （3x﹣2y）（9x2+6xy+4y2）＝ ； （2m﹣3）（4m2+6m+9）＝ ． 14．用代数式表示如图阴影部分的面积． 15．根据以下10个乘积，回答问题： 11×29；12×28； 13×27； 14×26； 15×25； 16×24；17×23； 18×22； 19×21； 20×20． （1）试将以上各乘积分别写成一个“□2﹣○2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程； （2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来； （3）试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论．（不要求证明） 16．某城市对用户的自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示：
（1）某用户5月份缴水费45元，则该用户5月份的用水量是多少？ （2）某用户想月所缴水费控制在20元至30元之间，则该用户的月用水量应该如何控制？ （3）若某用户的月用水量为m吨，请用含m的代数式表示该用户月所缴水费． 17．如图1，在长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝10cm，点P从A出发，沿A→B→C→D的路线运动，到D停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A路线运动，到A点停止．若P、Q两点同时出发，速度分别为每秒1cm、2cm，a秒时P、Q两点同时改变速度，分别变为每秒2cm、cm（P、Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止），如图2是△APD的面积s（cm2）和运动时间x（秒）的图象． （1）求出a值； （2）设点P已行的路程为y1（cm），点Q还剩的路程为y2（cm），请分别求出改变速度后，y1、y2和运动时间x（秒）的关系式； （3）求P、Q两点都在BC边上，x为何值时P、Q两点相距3cm？ 18．如图1，AB∥CD，E是直线CD上的一点，且∠BAE＝30°，P是直线CD上的一动点，M是AP的中点，直线MN⊥AP且与CD交于点N，设∠BAP＝x°，∠MNE＝y°． （1）在图2中，当x＝12时，∠MNE＝ ； 在图3中，当x＝50时，∠MNE＝ ； （2）研究表明：y与x之间关系的图象如图4所示（y不存在时，用空心点表示，请你根据图象直接估计当y＝100时，x＝ ． （3）探究：当x＝ 时，点N与点E重合； （4）探究：当x＞105时，求y与x之间的关系式． 19．如图1，正方形ABCD的边长为4厘米，E为AD边的中点，F为AB边上一点，动点P从点B出发，沿B→C→D→E，向终点E以每秒a厘米的速度运动，设运动时间为t秒，△PBF的面积记为S．S与t的部分函数图象如图2所示，已知点M（1，）、N（5，6）在S与t的函数图象上． （1）求线段BF的长及a的值； （2）写出S与t的函数关系式，并补全该函数图象； （3）当t为多少时，△PBF的面积S为4． 20．如图1，在矩形ABCD中，BC＝4cm．点P与点Q同时从点C出发，点P沿CB向点B以2cm/s的速度运动，点Q沿CD向点D以1cm/s的速度运动，当点P与点Q其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，顺次连接A，B，P，Q，A得到的封闭图形面积为S cm2． （1）当AB＝m cm时，S与t的函数图象为抛物线的一部分（如图2），求S与t的函数关系式及m的值，并直接写出t的取值范围； （2）当AB＝6cm时，探究：此时S与t的函数图象可以由（1）中函数图象怎样变换得到？ 21．已知动点P以每秒2cm的速度沿如图甲所示的边框按从B﹣C﹣D﹣E﹣F﹣A的路径移动，相应的△ABP的面积S与关于时间t的图象如图乙所示，若AB＝6cm，求： （1）BC长为多少cm？ （2）图乙中a为多少cm2？ （3）图甲的面积为多少cm2？ （4）图乙中b为多少s？ 22．如图，在正方形ABCD中，AB＝6 cm，点P从A出发，沿着ABCD的方向运动，设点P运动的时间为t（s），△PAD的面积为S（ cm2），则S和t的关系如图所示： （1）点P在AB上运动的时间为 s，点P第 s到第 s在BC上运动，在CD上运动的速度为 cm/s，△PAD的面积的最大值为 cm2． （2）当t为多少时，S＝10？ 23．如图①，A、D分别在x轴和y轴上，OD＝4cm，CD∥x轴，BC∥y轴，点P从点D出发，以1cm/s的速度，沿五边形OABCD的边匀速运动一周，记顺次连接P、O、D三点所围成图形的面积为Scm2，点P运动的时间为ts，已知S与t之间的函数关系如图②中折线段OEFGHI所示． （1）求A、B两点的坐标与m的值； （2）若直线PD将五边形OABCD分成面积相等的两部分，求直线PD的函数表达式． 24．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为17cm，求△ABC的周长． 25．如图，△ABC中，∠BAC＝120°，BC＝20，AB的垂直平分线交BC于点D，垂足为点F，AC的垂直平分交BC于点E，垂足为点G．求： （1）△ADE的周长， （2）∠DAE的度数． 26．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O． （1）求证：AD垂直平分EF； （2）若∠BAC＝60°，写出DO与AD之间的数量关系，不需证明． 27．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交BC，AB于点E，M，边AC的垂直平分线交BC，AC于点F，N，△AEF的周长是10． （1）求BC的长度； （2）若∠B+∠C＝45°，EF，求△AEF的面积． 28．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N， （1）若△CMN的周长为21cm，求AB的长； （2）若∠MCN＝50°，求∠ACB的度数． 29．已知直线l及其两侧两点A、B，如图． （1）在直线l上求一点P，使PA＝PB； （2）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB． （以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法） 30．如图，在△ABC中，BC＝12，∠BAC＝110°，AB的垂直平分线DE交BC边于点E，AC的垂直平分线MN交BC边于点N． （1）求△AEN的周长． （2）求∠EAN的度数． 31．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF． （1）若∠A＝60°，∠ABD＝24°，求∠ACF的度数； （2）若BC＝5，BF：FD＝5：3，S△BCF＝10，求点D到AB的距离． 32．如图，△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交AB、AC边分别为点D，点E，连接BE． （1）若∠A＝40°，求∠CBE的度数． （2）若AB＝10，BC＝6，求△BCE的周长． 33．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，FE垂直平分AD，交AD于E，交BC的延长线于F，那么∠B与∠CAF相等吗？为什么？ 34．如图，在△ABC中，AB＝AC，P、Q、R分别在AB、AC上，且BP＝CQ，BQ＝CR． 求证：点Q在PR的垂直平分线上． 35．如图，在△ABC中，分别以点A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD， （1）直线MN与线段AB的关系是怎样的？为什么？ （2）若△ADC的周长为10，AB＝7，求△ABC的周长． 36．已知：如图，AB＝AE，BC＝ED，AF⊥CD且F是CD的中点， 求证：∠B＝∠E． 37．如图，点B，E关于y轴对称，且E在AC的垂直平分线上，已知点C（5，0）． （1）如果∠BAE＝40°，那么∠C＝ °； （2）如果△ABC的周长为16cm，AC＝6cm，那么△ABE的周长＝ cm； （3）AB+BO＝ ． 38．已知如图，在△ABC中，BC＝8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，求△ADE的周长． 39．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF． 40．如图，△ABC中，边BC的垂直平分线交AB于E，交BC于D，且BC＝10，△BCE的周长为22，求BE的长． 41．在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC上，点E在AC上，连接DE且∠ADE＝∠AED． （1）当点D在BC（点B，C除外）边上运动时（如图1），且点E在AC边上，猜想∠BAD与∠CDE的数量关系，并证明你的猜想． （2）当点D在直线BC上运动时（如图2），且点E在AC边所在的直线上，若∠BAD＝25°，求∠CDE的度数（直接写出结果）． 42．已知在△ABC与△CDE中，AB＝CD，∠B＝∠D，∠ACE＝∠B，点B、C、D在同一直线上，射线AH、EI分别平分∠BAC、∠CED． （1）如图1，试说明AC＝CE的理由； （2）如图2，当AH、EI交于点G时，设∠B＝α，∠AGE＝β，求β与α的数量关系，并说明理由； （3）当AH∥EI时，求∠B的度数． 43．若a、b是△ABC的两边且|a﹣3|+（b﹣4）2＝0 （1）试求a、b的值，并求第三边c的取值范围． （2）若△ABC是等腰三角形，试求此三角形的周长． （3）若另一等腰△DEF，其中一内角为x°，另一个内角为（2x﹣20）°试求此三角形各内角度数． 44．在△ABC中，AB＝AC，点D是线段BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）如图1，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝ ； （2）如图2，设∠BAC＝α，∠BCE＝β．当点D在线段BC上移动时，请写出α，β之间的数量关系，请说明理由． 45．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，延长CB至点E，延长BC至点F，使BE＝CF，连接AE、AF． 求证：AD平分∠EAF． 46．等腰三角形两腰上的中线相等吗？试证明你的结论 47．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠DBC＝15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数？ 48．在△ABC中，AB＝AC，BG⊥AC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． （1）如图1，若D是BC边上的中点，∠A＝45°，DF＝3，求AC的长； （2）如图2，D是线段BC上的任意一点，求证：BG＝DE+DF； （3）在图3，D是线段BC延长线上的点，猜想DE、DF与BG的关系，并证明． 49．如图1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，我们发现这个三角形有一种特性，即经过它某一顶点的一条射线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题； 如图2，△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，请你在图中画一条射线（不必写画法），把它分成两个小等腰三角形，并写出底角的大小． 50．如图1，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F 作图：请作出AC边上的高BG 探究： （1）请你通过观察、测量找到DE、DF、BG之间的数量关系： （2）为了说明DE、DF、BG之间的数量关系，小嘉是这样做的： 连接AD 则S△ADC＝ ，S△ABD＝ ∴S△ABC＝ S△ABC还可以表示为 … 请你帮小嘉完成上述填空 拓展：如图2，当D在如图2的位置时，上面DE、DF、BG之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由 51．如图所示，∠ABC＝90°，AB＝BC，AE是角平分线，CD⊥AE于D，可得CDAE，请说明理由． 52．已知：如图，∠ACB＝90°，D、E是AB上的两点，且AE＝AC，BD＝BC，EF⊥CD于F， 求证：CF＝EF． 53．已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离OE、OF相等，且OB＝OC． （1）如图，若点O在边BC上，求证：AB＝AC； （2）如图，若点O在△ABC的内部，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，说明理由； （3）若点O在△ABC的外部，则（1）的结论还成立吗？请画图表示． 54．在△ABC中，AB＝AC，AD和CE是高，它们所在的直线相交于H． （1）若∠BAC＝45°（如图①），求证：AH＝2BD； （2）若∠BAC＝135°（如图②），（1）中的结论是否依然成立？请在图②中画出图形并证明你的结论． 55．（1）已知△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数） （2）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系． 56．如图是一个三角形金属轨道ABC，其周长99cm，AB＝AC，甲、乙、丙三个小球分别从A、B、C出发以相同的速度向B、C、A运动，当运动了6s时，分别到达P、Q、R三点处，APAB，BQBC． 求：（1）三角形三条边的长度； （2）小球的运动速度； （3）出发多少秒后，哪两个球首次同时在同一条边上运动它们在同一条边上运动多长时间？ 57．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，∠DBCA． 求证：AC⊥BD． 58．如图，在△ABC中，AB＝AC，腰AC上的中线BD把△ABC的周长分成15和21两部分，求△ABC各边的长． 59．在△ABC中，AB＝AC，D是BC上的一点，连接AD，△ABD和△ACD都是等腰三角形，求∠C的度数．（画出图形，写出必要的推理计算过程．） 60．已知△ABC中，点D是BC边上一点，且AB＝AC＝CD，BD＝AD，求∠BAD的度数．
答案请联系我们 英国女王因身体不适，暂停参加庆祝其在位 70 周年的活动，还有哪些信息值得关注？ 唐山某路烧烤店，男子骚扰女子未果挨骂，随即动手打人，将受到哪些惩罚？出门在外如何保护好自身安全？ 2022 高考今日开考，作为高考过来人，有什么寄语想对今年的高考生说的? 广州市场监管部门对演员景甜违法广告代言行为作出行政处罚，合计罚款 722 万，起到什么警示作用？ 8000 多 LV 拖鞋穿一个星期掉色，检测中心称「属正常磨损」，奢侈品这一现象是否正常？ 为什么成年人越来越喜欢过儿童节？是因为保留了童心还是因为不想长大？ 马斯克要求特斯拉员工结束远程办公，并每周至少在办公室待 40 个小时，否则将辞退，这种要求是否合理？ 客户挖我过去，工资谈好了，但是从年后到现在没提让我去上班的事，还一直有私活让我给他做，我该怎么处理？ 股东会与董事会怎么开？什么是股权、金融、资本、代持、稀释、反稀释？ 打工仔如何成为皇帝，从乔家三伙计中可得启发：马荀、高瑞、长栓 为何心理辅导机构负责人要去不孕不育医院，这充分说明了那啥问题 南京艺林心理咨询创始人朱成林就股权资本问题付费咨询萌叔咨询创始人 未来的亿万富翁有你吗，请看该公司的股权激励实施大会，惊爆全球 《首富秘史》带给我们的六大思考：大数据发源于中国，起源于山东 当我想进行组织变革时，富豪推荐《改变提问，改变人生》：挺有用 大清首富不是那么好当的，当你绝望无助之时，多看看乔致庸（一） 纪念爱国者吴孟达，剖析主演的《九品芝麻官》，惊得六条醒世警句 满清首富乔致庸：幼年痛失父母，童年顽皮又爱读书满清首富乔致庸的少年时期：加倍努力了，还不免要继承偌大家业 纪念爱国者吴孟达，剖析主演的《九品芝麻官》，惊得六条醒世警句 首富评贾玲电影抄袭案：木秀于林，风必摧之；鹤立鸡群，鸡必毁之 |
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