一、模型建构
1、流体问题：
'流体'一般是指液体流、气体流等，质量具有连续性。涉及有求解质量、体积和力等问题。
2、两类问题
第一类：连续流体类问题
对于该类问题流体运动,可沿流速v的方向选取一段柱形流体作微元
设在极短的时间Δt内通过某一横截面积为S的柱形流体的长度为Δl,如图所示。设流体的密度为ρ
则在Δt的时间内流过该截面的流体的质量Δm=ρSΔl=ρSvΔt
根据动量定理得：FΔt=ΔmΔv
分两种情况:
(1)作用后流体微元停止，有Δv=-v，则F=-ρSv2
(2)作用后流体微元以速率v反弹，有Δv=-2v，则F=-2ρSv2
第二类：连续微粒类问题
'微粒'一般是指电子流、尘埃等，质量具有独立性，通常给出单位体积内的粒子数n：
（1）建立'柱状'模型，沿运动速度 v0的方向选取一段微元，柱体的横截面积为S；
（2）微元研究，作用时间 △t 内的一段柱体的长度为 v0△t，对应的体积为△V=S v0△t，则微元内的粒子数N=nS v0△t
（3）先应用动量定理研究单个粒子，建立方程，再乘以N计算。
二、例题精析
例1、有一横截面积为S的铜导线，流经其中的电流为I，设每单位体积的导线有n个自由电子，电子的电荷量为q，此时电子的定向移动速率为v，在t时间内，通过导线横截面的自由电子数目可表示为（ ）
A．Nst
B．Nvt
C．
D．
解答：在t时间内通过导体横截面的自由电子的电量Q＝It，
则在t时间内，通过导体横截面的自由电子的数目为：N＝，
根据电流的微观表达式I＝nqvS，将I＝nevS代入得：
N＝
＝nvSt
故选：C。
例2、运动员在水上做飞行运动表演他操控喷射式悬浮飞行器将水带竖直送上来的水反转180°后向下喷出，令自己悬停在空中，如图所示。已知运动员与装备的总质量为90kg，两个喷嘴的直径均为10cm，已知重力加速度大小g＝10m/s2，水的密度ρ＝1.0×103kg/m3，则喷嘴处喷水的速度大约为（ ）
A．2.7m/s
B．5.4m/s
C．7.6m/s
D．10.8m/s
解答：设飞行器对水的平均作用力为F，根据牛顿第三定律可知，水对飞行器的作用力的大小也等于F，对飞行器，则：F＝Mg
设水喷出时的速度为v，选取一段柱形流体
在时间t内喷出的水的质量：△m＝ρ·V＝ρ·2Svt
t时间内质量为△m的水获得的冲量：I＝Ft＝△mv
联立可得：v＝
＝
＝7.6m/s
故选：C。
三、针对训练
1．如图所示，一根横截面积为S的均匀带电长直橡胶棒沿轴线方向做速度为v的匀速直线运动。棒单位长度所带电荷量为﹣q，则由于棒的运动而形成的等效电流大小和方向（ ）
A．vq，方向与v的方向相反
B．vqS，方向与v的方向相反
C．
，方向与v的方向相反
D．
，方向与v的方向相同
【解答】解：棒沿轴线方向以速度v做匀速直线运动时，每秒通过的距离为v米，每秒v米长的橡胶棒上电荷都通过直棒的横截面，每秒内通过横截面的电量大小为：Q＝q·v
根据电流的定义式为：I＝，t＝1s，
得到等效电流为：I＝qv．
由于棒带负电，则电流的方向与棒运动的方向相反，即与v的方向相反。
故A正确，BCD错误。
故选：A。
2．打开水龙头，水顺流而下，仔细观察将会发现在流下的过程中，连续的水流柱的直径是逐渐减小的．设出水口方向竖直向下的水龙头直径为1cm，g取10m/s2．如果测得水在出水口处的速度大小为1m/s，则距出水口75cm处水流柱的直径为（ ）
A．1cm
B．0.5cm
C．0.75cm
D．0.25cm
【解答】解：设水在水龙头出口处速度大小为v1，水流到距出水口75cm处的速度v2，
由
代入数据解得v2＝4m/s，
设极短时间为△t，在水龙头出口处流出的水的体积为V1＝v1△t①
水流进接水盆的体积为V2＝v2△t·②
由V1＝V2得v1△t·＝v2△t·
代入解得 d2＝1cm
故选：A。
3．图是某城市广场喷泉喷出水柱的场景。从远处看，喷泉喷出的水柱超过了40层楼的高度；靠近看，喷管的直径约为10cm。请你据此估计用于给喷管喷水的电动机输出功率至少有多大？
【解答】解：管口的圆形内径约有10cm，则半径r＝5cm＝0.05m
根据实际情况，每层楼高h＝3m，所以喷水的高度H＝40h＝120m，
则水离开管口的速度为：v＝＝
设给喷管喷水的电动机输出功率为P，在接近管口很短一段时间△t内水柱的质量为：
m＝ρ·v△tS＝ρπr2v△t
根据动能定理可得：P△t＝mv2，
解得：P＝
代入数据解得：P＝4.62×105W，
答：给喷管喷水的电动机输出功率至少4.62×105W。
4．某地有一风力发电机如图所示，它的叶片转动时可形成半径为20m的圆面。某时间内该地区的风速是6.0m/s，风向恰好跟叶片转动的圆面垂直，已知空气的密度为1.2kg/m3，假如这个风力发电机能将空气动能的10%转化为电能。（保留两位有效数字）
（1）求1秒内冲击风力发电机叶片圆面的气流的体积；
（2）求1秒内冲击风力发电机叶片圆面的气流的动能；
（3）求此风力发电机发电的功率。
【解答】解：（1）1秒冲击风车车叶的气体体积为：
V＝SL＝πr2vt＝3.14×400×6×1 m3＝7.5×103 m3；
（2）1s内气流的质量：m＝ρV＝1.2×7.5×103kg＝9×103kg；
气流的动能：E动＝mv2＝×9×103×36J＝1.6×105J；
（3）1秒风的动能转化为的电能：
E电＝ηE动＝10%×1.6×105J≈1.6×104J；
则功率P＝＝1.6×104W。
答：（1）1秒内冲击风力发电机叶片圆面的气流的体积为7.5×103 m3；
（2）1秒内冲击风力发电机叶片圆面的气流的动能为1.6×105J；
（3）此风力发电机发电的功率 1.6×104W。
5．新型冠状病毒主要传播方式为飞沫传播。有关专家研究得出打喷嚏时气流喷出的速度可达50m/s，假设一次打喷嚏人受到的平均反冲力约为0.16N，时间大约0.03s，估算打一次喷嚏喷出空气的质量约为（ ）
A．9.6×10﹣3kg
B．9.6×10﹣5kg
C．1.92×10﹣3kg
D．1.92×10﹣5kg
【解答】解：设打一次喷嚏喷出空气的质量为m，由动量定理可得：F×Δt＝mv
代入数据解得：m＝9.6×10﹣5kg。故B正确，ACD错误。
故选：B。
6．如图所示为某地一风力发电机，它的叶片转动时可形成半径为20m的圆面。某时间内该地区的风速是5.0m/s，风向恰好跟叶片转动的圆面垂直，已知空气的密度为1.2kg/m3，假如这个风力发电机能将此圆内10%的空气动能转化为电能，π取3。下列说法正确的是（ ）
A．单位时间内冲击风力发电机叶片圆面的气流的体积为6000m3
B．单位时间内冲击风力发电机叶片圆面的气流的动能为900J
C．单位时间内冲击风力发电机叶片圆面的气流的动量为900kg·m/s
D．此风力发电机发电的功率为900W
【解答】解：A、单位时间内冲击风力发电机叶片圆面的气流的体积为，故A正确；
B、单位时间内冲击风力发电机叶片圆面的气流的动能为，故B错误；
C、单位时间内冲击风力发电机叶片圆面的气流的动量为
p＝mv＝ρV0v＝1.2×6000×5kg·m/s＝3.6×104kg·m/s，故C错误；
D、依题意，此风力发电机发电的功率为，故D错误。
故选：A。
7．近些年小型无人机发展迅速，在交通管理，航拍摄影、安防救援等方面都有广泛的应用。如图所示为某型号的无人机，它通过4个旋翼螺旋桨向外推动空气获得升力，假设质量为M无人机在某次无风状态下飞行时，处于水平悬停状态下，被推动空气获得速度为v，空气的密度为ρ。忽略推出空气对机身的作用力，则下面说法正确的是（ ）
A．无人机的动能为
B．无人机的功率Mgv
C．单位时间内推出空气的总质量为
D．每个螺旋桨转动时形成空气流动的圆面面积
【解答】解：AB、由于飞机静止，所以空气对飞机的作用力为：F＝Mg
飞机对空气作用力为：F′＝F＝Mg
对被推向下的空气应用动量定理可得：F't＝Mgt＝mv
得：m＝
空气获得的动能为：Ek＝，解得：Ek＝Mgvt
无人机做功使空气获得动能，无人机的功率为：P＝＝＝Mgv，故AB错误；
C、由上可知：m＝，单位时间内推出空气的总质量为m0＝＝，故C正确；
D、螺旋桨转动时形成空气流动的圆面面积为S，则有：Sρv＝，
每个螺旋桨转动时形成空气流动的圆面面积：S′＝
联立解得：S′＝，故D错误。
故选：C。
8．湖面上有帆船正以速度v1匀速顺风航行。已知：该船帆的有效受风面积为S，水平风速恒为v2，且v1＜v2，湖面上空气密度为ρ。则风对船帆的推力的功率为（ ）
A．ρSv22
B．ρS（v2﹣v1）2
C．ρS（v2﹣v1）2v1
D．ρS（v2﹣v1）2v2
【解答】解：单位时间t内冲击船帆的空气的体积
V＝SL＝S（v2﹣v1）t
单位时间t内冲击船帆的空气质量
m＝ρV＝ρS（v2﹣v1）t
空气的动量改变量
Δp＝m（v2﹣v1）
帆对空气的作用力F，由动量定理
Ft＝Δp
解得：F＝ρS
根据牛顿第三定律，帆船在航行过程中受到的风的水平推力大小
F'＝F＝ρS
风对船帆的推力的功率为
P＝F'v1＝ρSv1，故C正确，ABD错误。
故选：C。
9．如图，横截面积为5cm2的水柱以10m/s的速度垂直冲到墙壁上，已知水的密度为1×103kg/m3，假设水冲到墙上后不反弹而顺墙壁流下，则墙壁所受水柱冲击力为（ ）
A．5×105N
B．50N
C．5×103N
D．5×102N
【解答】解：ts时间内喷水质量为：m＝ρSvt＝1000×0.0005×10t kg＝5t kg，
水在时间ts内受到墙的冲量为：I＝0﹣mv＝Ft
所以：N
负号表示水受到的墙的作用力的方向与运动的方向相反。
故选：B。
10．2021年9月24日，中国用长征5号运载火箭成功将太空飞船货物舱送入预定轨道。运载火箭点火时向下喷气，会对地面产生冲力。假设火箭喷气口的横截面积为s，喷出气体的速度为v（相对于地面），气体垂直射向地面后，竖直速度变为零，已知气体的密度为ρ，重力加速度大小为g，忽略气体自身重力，则气体对地面的平均冲力是（ ）
A．sv2ρ
B．sv2ρ
C．svgρ
D．svρ
【解答】解：设Δt时间内火箭喷出气体的质量为Δm，则Δm＝ρsv·Δt
以Δt此时间内喷出的气体Δm为研究对象，设地面对气体的作用力为F，取喷出气体速度的方向为正方向，由动量定理得：
﹣F·Δt＝0﹣Δmv
联立解得：F＝ρsv2
由牛顿第三定律知，气体对地面的冲击力为：F′＝F＝ρsv2，故A正确，BCD错误。
故选：A。
11．用豆粒模拟气体分子，可以模拟气体压强产生的原理。如图所示，从距秤盘80cm高度把1000粒的豆粒连续均匀地倒在秤盘上，持续作用时间为1s，豆粒弹起时竖直方向的速度变为碰前的一半。若每个豆粒只与秤盘碰撞一次，且碰撞时间极短（在豆粒与秤盘碰撞极短时间内，碰撞力远大于豆粒受到的重力），已知1000粒的豆粒的总质量为100g。则在碰撞过程中秤盘受到的压力大小约为（ ）
A．0.2N
B．0.6N
C．1.0N
D．1.6N
【解答】解：豆粒下落到秤盘上的速度v＝＝＝4m/s；反弹后速度为v'＝﹣2m/s，设向下为正方向，则根据动量定理可知：
Ft＝mv'﹣mv
解得：F＝0.6N；由牛顿第三定律可知，在碰撞过程中秤盘受到的压力大小为0.6N；
故B正确，ACD错误。
故选：B。
12．高压水枪是世界上公认的最科学、经济、环保的清洁工具之一。如图所示为某高压水枪工作时的场景。考虑能量损耗，可近似认为高压水枪工作时电动机所做功的80%转化为喷出水的动能，已知水枪出水口直径为d，水从枪口喷出时的速度为v，水的密度为ρ，求：
（1）单位时间从枪口喷出的水的质量；
（2）这个水枪工作时电动机做功的功率；
（3）用高压水枪冲洗物体时，在物体表面将产生一定的压力。若水从枪口喷出时的速度大小v＝100m/s，近距离垂直喷射到物体表面，水枪出水口直径d＝5mm。忽略水从枪口喷出后的发散效应，水喷射到物体表面时速度在短时间内变为零。由于水柱前端的水与物体表面相互作用时间很短，因此在分析水对物体表面的作用力时可忽略这部分水所受的重力。已知水的密度ρ＝1.0×103kg/m3，g＝10m/s2，估算水枪在物体表面产生的冲击力的大小。
【解答】解：（1）Δt时间内，水枪喷出的水的质量为：Δm＝ρSvΔt＝ρ·πd2vΔt
则单位时间从枪口喷出的水的质量为：＝ρπd2v
（2）水枪在时间Δt内做功转化为水柱的动能为：W＝
这个水枪工作时电动机做功的功率为：P电＝＝＝＝ρπd2v3
（3）取很短的时间Δt'，则Δt'时间内打到物体表面的水的质量为m'，则有：m'＝ρπd2vΔt'
以这部分水为研究对象，设物体表面对其作用力为F'，以水流速度方向为正方向，由动量定理可得：
﹣F'Δt'＝0﹣m'v
代入数据解得：F′＝196.25N
根据牛顿第三定律可得水枪在物体表面产生的冲击力大小：F＝F'＝196.25N
答：（1）单位时间从枪口喷出的水的质量为ρπd2v；
（2）这个水枪工作时电动机做功的功率为ρπd2v3；
（3）水枪在物体表面产生的冲击力的大小为196.25N。
13．某游乐园入口旁有一喷泉，水枪喷出的水柱将一玩具铁盒稳定地悬停在相对于喷口高度为h的空中，如图所示。为计算方便起见，假设水柱从横截面积为S的喷口持续以恒定的速度v0竖直向上喷出；铁盒底部为平板（面积略大于S）；水柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周均匀散开。忽略空气阻力。已知水的密度为ρ，重力加速度为g。求
（1）水枪单位时间喷出的水的质量
（2）玩具铁盒的质量M。
【解答】解：（1）设△t内喷水的质量为△m，则：△m＝ρSv0△t
单位时间喷出的水的质量：；
（2）设△t内，铁盒对△m的水的平均作用力为F，冲击铁盒时水的速度为v，取向下为正
动量定理有：（F+△mg）△t＝△mv
又△mg＜＜F
所以F＝ρSv0v
由运动学公式有：
由平衡条件及牛顿第三定律有：F'＝Mg，F'＝F
联立解得：。
答：（1）水枪单位时间喷出的水的质量为ρSv0；
（2）玩具铁盒的质量为。
14．高压采煤水枪出水口的横截面积为S，水的射速为v，水柱水平垂直地射到煤层后，速率变为0，若水的密度为ρ，假定水柱截面不变，则水对煤层的冲击力是多大？
【解答】解：设t时间内有V体积的水打在煤层上，则这些水的质量为：m＝ρV＝ρSvt，
以这部分水为研究对象，它受到煤层的作用力为F，以水运动的方向为正方向，由动量定理有：Ft＝0﹣mv，
即：F＝﹣＝﹣ρSv2，负号表示水受到的作用力的方向与水运动的方向相反；
由牛顿第三定律可以知道，水对煤层的冲击力大小也为ρSv2．
答：水对煤层的冲击力是ρSv2．
15．某游乐园入口旁有一鲸鱼喷泉，在水泵作用下会从鲸鱼模型背部喷出竖直向上的水柱，将站在冲浪板上的玩偶模型托起，悬停在空中，伴随着音乐旋律，玩偶模型能够上下运动，非常引人驻足，如图所示。这一景观可做如下简化，假设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度v0竖直向上喷出；设同一高度水柱横截面上各处水的速率都相同，冲浪板底部为平板且其面积大于水柱的横截面积，保证所有水都能喷到冲浪板的底部。水柱冲击冲浪板前其水平方向的速度可忽略不计，冲击冲浪板后，水在竖直方向的速度立即变为零，在水平方向朝四周均匀散开。已知玩偶模型和冲浪板的总质量为M，水的密度为ρ，重力加速度大小为g，空气阻力及水的粘滞阻力均可忽略不计。
（1）试计算玩偶模型在空中悬停时，水对冲浪板的冲击力大小和喷泉单位时间内喷出的水的质量；
（2）实际上当我们仔细观察发现喷出的水柱在空中上升阶段并不是粗细均匀的，而是在竖直方向上一端粗一端细，请你分析上升阶段的水柱是上端较粗还是下端较粗，并说明水柱呈现该形态的原因。
（3）由于水柱顶部的水与冲浪板相互作用的时间很短，因此在分析水对冲浪板的作用力时可忽略这部分水所受的重力作用。求玩偶在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度。
【解答】解：（1）玩偶处在空中静止，此时受重力与水向上的推力，由二力平衡可知F＝Mg
设△t时间内，从喷口喷出的水的体积为△V，质量为△m，
则△m＝ρ△V，△V＝v0S△t由以上两式得，单位时间内从喷口喷出的水的质量为
（2）水柱上端较粗，下端较细。
原因是：任意横截面流速相等，下端水柱速度较上端水柱的速度大，由Q＝Sv，（S为水柱截面积，v为水柱中水的流速）可知，上端水柱截面较大。
（3）设玩具悬停时其底面相对于喷口的高度为h，水从喷口喷出后到达玩具底面时的速度大小为v。
对于△t时间内喷出的水，由能量守恒定律得；
在h高度处，△t时间内喷射到玩具底面的水沿竖直方向的动量变化量的大小为△p＝（△m）v设水对玩具的作用力的大小为F，根据动量定理有F⋅△t＝△p由于玩具在空中悬停，
由力的平衡条件得F＝Mg
联立以上各式得
答：（1）水对冲浪板的冲击力大小和喷泉单位时间内喷出的水的质量为ρv0S；
（2）水柱上端较粗，下端较细。任意横截面流速相等，下端水柱速度较上端水柱的速度大，由Q＝Sv，（S为水柱截面积，v为水柱中水的流速）可知，上端水柱截面较大。
（3）玩偶在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度。
16．如图所示，静止在光滑水平面上的小车质量为M＝20kg．从水枪中喷出的水柱的横截面积为S＝10cm2，速度为v＝10m/s，水的密度为ρ＝1.0×103kg/m3．若用水枪喷出的水从车后沿水平方向冲击小车的前壁，且冲击到小车前壁的水全部沿前壁流进小车中．当有质量为m＝5kg的水进入小车时，试求：
（1）小车的速度大小；
（2）小车的加速度大小．
【解答】解：（1）流进小车的水与小车组成的系统动量守恒，当淌入质量为m的水后，小车速度为v1，
则mv＝（m+M）v1，
解得：
（2）质量为m水流进小车后，在极短的时间△t内，冲击小车的水的质量为△m＝ρS（v﹣v1）△t
此时，水对车的冲击力为F，则车对水的作用力也为F，
据动量定理有
﹣F△t＝△mv1﹣△mv
解得：
根据牛顿第二定律得：
答：（1）小车的速度大小为2m/s；
（2）小车的加速度大小为2.56m/s2．
