燕尾三角形中平行线的构造解析

问题背景

      如上图，讲这样的图形称为“燕尾三角形”。“燕尾三角形”往往与比例线段结合起来进行考察。要证明线段间的比例关系，往往可以联想“三角形的一边平行线”，即通过作平行线的方式，构造“A”或“X”型基本图形(往往是2组基本图形)，从而借助中间比或相等的线段达到转化的的目的。

      图中共有6个点，过这6个点作对边的平行线，共有12种可能，但不是每一种方法都可以进行证明，在证明的过程中存在着“试错”的可能性，下面就对这道题进行系统地的分析。

01

解法分析

通过对已知、求证以及图形进行分析，我们可以发现题目中已知的等量关系是AD=CD，对于求证的比例线段：AE:BE和CF:BF，在添加平行线后尽量不要割裂原有的线段，因此综合以上的考量，一共有5种辅助线的添加方式：①过点A作BC的平行线；②过点B作EF的平行线；③过点B作AC的平行线；④过点C作AB的平行线；⑤过点C作EF的平行线。

02

问题变式

已知两组等量关系，求第三组线段比

     解法分析：本题已知的的是BD=2CD，M为AD的中点，需要寻找AE:AC的值，为了充分题目中已知的比例关系，尽量保证AE:AC线段的“完整性”，可以采取以下的方法进行平行线的添加，从而构造2组基本图形：

       解法分析：本题已知的是AM:BM和CN:BN间的数量关系，要求BO:DO的值，仅仅构造一组平行是无法达成的，因此可以过点A和点C分别作MN的平行线，通过3次利用基本图形，进行问题解决。

03

综合应用

        解法分析：本题的第一问是建立函数关系，由于已知了AP、BP、CE的长度，因此可以通过过点A作BC的平行线构造2个X型基本图形，从而建立函数关系。

      解法分析：本题的第二问是求证线段间的比例关系，首先根据题意画出图形：

根据分析可以发现根据现有的图形只能得到PD:DE=PF:FB，却无法搭建与PM和ME间的数量关系，因此联想延长PM和EB交于N，重新构造一个A型图，此时问题就转化为由MD//EN，得PM:MN=PD:DE，如何证明MN=ME。借助图中的“线束模型”，即可得到B为NE中点。

线束模型

最后对于证明BM⊥MN可以采取以下两种方法：