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我们知道抛物线的开口有方向和大小的问题，开口方向我们经常会用到，开口大小却极少用到。老黄之前曾推导过抛物线开口大小的公式： l=2根号(y0/a)，其中a是抛物线的参数，y0是顶点在原点的抛物线在开口处的纵坐标。但却很少有机会运用到这个公式。就连老黄用起来也仍不能得心应手。 2022年安徽省已经完成了中考，在最新鲜出炉的安徽中考数学压轴题中，就可以运用到这个知识。除此之外，这道题还有很多值得探究的地方。 如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米，以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米，E(0,8)是抛物线的顶点. (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)在隧道截内(含边界)修健“m”形或“日”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1, P4在x上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等，栅栏总长l为图中粗线段P1P2, P2P3, P3P4，MN长度之和，请解决以下问题： (i)修建一个“m”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上，设点P1的横坐标为m(0<m≤6),求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值； (ii)现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“m”型和“日”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围(P1在P4右边). 分析：(1)第一小题当然很简单。利用待定系数法，代入点的坐标就可以得到答案。不过用老黄上面提到的抛物线开口的大小公式，会更直接。虽然这个方法只简便了一点点，而且不熟练的情况下还容易出错，但拿简单的问题来练手，最合适，多备一种方法，难道不好吗？ (2i)第二小题也可以运用物线开口的大小公式来解，不过这次它却并不是最简单的方法，反而会走弯路。只要表示出矩形P1P2P3P4的长和宽，栅栏的总长就是一条长和三条宽的和，从而得到l关于m的二次函数，化为顶点式，就有答案了。 (2ii)只需要选择一个方案，不过老黄会将两个方案都分析。分成两步，第一步是利用矩形的面积公式，列得面积与P1，P4的横坐标差的二次函数，就可以得到面积的最大值。第二步要考虑矩形的宽既要小于P1的纵坐标，也要小于P2的纵坐标，从而求得m的取值范围。这两种方案都可以用上面的方法解决。因此解决方案一，就很容易解决方案二。 解：(1)由2根号((2-8)/a)，得a=-1/6. ∴抛物线的解析式为：y=-x^2/6+8 (-6≤x≤6). (2i)P2P3=2m, MN=P3P4=P1P2= -m^2/6+8, ∴l= -m^2/2+2m+24= -(m-2)^/2+26 (0<m≤6), ∴当m=2时，l=26最大. (2ii)方案一：设P4(n,0) (-6≤n<m), 则P2P3=m-n, MN=P3P4=P1P2=(18-(m-n))/3=6-(m-n)/3， 矩形P1P2P3P4面积：S=-(m-n)^2/3+6(m-n)=-(m-n-9)^2/3+27, ∴当m-n=9, MN=3时，S=27最大. 由-m^2/6+8≥3, 有 -根号30≤m≤根号30. 同理-根号30≤n≤根号30, 又n=m-9, ∴9-根号30≤m≤根号30+9. ∴9-根号30≤m≤根号30. 方案二：设P4(n,0) (-6≤n<m), 则P2P3=m-n, MN=P3P4=P1P2=(18-2(m-n))/2=9-(m-n)， 矩形P1P2P3P4面积：S=-(m-n)^2+9(m-n)=-(m-n-9/2)^2+81/4， ∴当m-n=9/2, MN=9/2时，S=81/4最大. 由-m^2/6+8≥9/2, 有 -根号21≤m≤根号21. 又n=m-9, ∴9/2-根号21≤m≤根号21+9/9. ∴9/2-根号21≤m≤根号21. 中考数学想取得好成绩，除了要多练习解题，还要懂得归纳解题的方法。您从这道题中得到多少信息呢？ |
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来自： 老黄的图书馆 > 《中考数学真题分析》
