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解法分析：本题是正方形背景下图形的翻折问题。由题意可知，AB=BE，则△ABE为等腰三角形。其中BM是∠EBC的平分线BG，因此联想构造∠ABE的平分线，得到45°角，即△FBG为等腰Rt三角形。同时观察到tan∠EBM=1/2，由此联想tan∠EBG=1/3，通过解△ABG，得到AG、BG的长，继而得到EF的长。
解法分析：本题是二次函数背景下根据三角形面积求点坐标以及等腰直角三角形的存在性问题。由题意可知，本题的第一问利用待定系数法可以求出抛物线的表达式。
本题的第二问是根据三角形面积求点坐标。由于P在对称轴上，因此DP的长度可以用P的纵坐标表示，△PDB的高为4，因此可以P的纵坐标表示三角形的面积。同时利用距离公式和勾股定理，可得△CDB为直角三角形，因此可以直接求出它的面积。
本题的第二问是等腰直角三角形的存在性问题。需要分类讨论，即∠MEN或∠EMN=90°两种情况。观察到∠BCO=45°，借助图像特征，得到△EMN的一边垂直或平行y轴，再利用对称性求出点的坐标。
解法分析：本题是三角形背景下与平行四边形相结合的问题。乍一看，图形看着很不“顺眼”，但是由于平行线的存在，因此图中蕴含着丰富的A型基本图形，本题的辅助线的添线方法也是围绕着添平行线展开的。本题的第一问是求BD的长度。由于AD平分∠BAC，∠BAC=2∠B，因此图中有一组共边共角型的相似三角形：△ACD∽△ABC，借助这组相似三角形，可以将△ABC中的所有线段长度求出。
本题的第二问是求AEFG为矩形的特殊情况。由于EF⊥AB，因此可以过点D作AB的垂线，利用三角比或比例线段求AE长度。
本题的第三问添加了新的条件，过点D作AB的平行线，根据DM-AB-A型基本图形，可以求出DM和AM的长度。设AE=x，再利用DP-BE-A型基本图形，可以用含x的代数式表示DP的长度。
由于点G可能在三角形内部或三角形外部，因此需要分类讨论，利用DP=MQ的等量关系进行进一步的分析。本题
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