【原】有形和无形的三点共线，2022年山东滨州中考数学填空压轴题

这是2022年山东省滨州市中考数学的填空压轴题，是一道利用三点共线求“线段和”的最小值的问题。这道题有“有形”和“无形”两种三点共线的形式，分别对应几何法和代数法，这是怎么回事呢？我们先来看看题目吧！

如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=10.若点E是边AD上的一个动点，过点E作EF⊥AC且分别交对角线AC，直线BC于点O,F，则在点E移动的过程中，AF+FE+EC的最小值为_____.

分析：这是一个容易被误认为是“将军双饮马”模型的问题。可能有人会以为，延长CD到M，使MD=CD，延长AB到N，使NB=AB，连接线段MN，MN的长就是所求的最小值。但这是错误的，因为这种情况下，MN并不垂直于AC。

这道题有一个关键，就是EF是定长的。因此我们可以先求出EF的长。过D作DG//FE交CF于点G, 则△GCD∽△ABC，根据相似三角形边的比例关系：GC/CD=AB/BC=5/10=1/2, 可以求得GC=CD/2=5/2。再运用勾股定理，就可以求得EF=DG=根号(CD^2+GC^2)=5根号5/2.

然后以AF，EF为边构造平行四边形AFEF’. 则AF=EF’, FE=AF’。不难发现，当C, E, F’在同一直线上时, 有CE//AF，且CE=AF=EF’，此时AF+EC=EF'+EC=CF'就最小。

又AC=根号(AB^2+BC^2)=5根号5，在Rt△ACF’中，再次运用勾股定理，就可以求得CF’=根号(AF^2+AC^2)=25/2.

所以，AF+FE+EC=CF’+FE=(5根号5+25)/2最小.

很明显的，上面是有形的“三点共线”问题，下面我们来看看无形的“三线共线”是怎么回事。

它也是基于EF是定长5根号5/2的。过F作FH⊥AD于点H, 设BF=AH=x, 则AF=根号(x^2+25), HE=根号(FE^2-HF^2)=5/2, DE=AD-AH-HE=15/2-x, EC=根号(ED^2+CD^2)=根号((x-15/2)^2+25).

因此AF+CE=根号(x^2+25)+根号((x-15/2)^2+25)，它表示点(0,0), (x,5), (15/2,10)三点之间的两条线段之和的关系。因此，当三点在同一直线上时，两条线段的和就最小。这就是无形的“三点共线”。当然我们也可以把它们用图形表示出来的。

显然，当AF+CE=根号((15/2)+100)=25/2时，AF+FE+EC=(5根号5+25)/2最小.

这两种方法都要掌握好哦，中考的考场上，多一种选择总是好的。