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作者：Allison Whitten 2021-7-8 译者：zzllrr小乐 2021-7-9
50 多年来，数学家一直在寻找一种严谨的方法来证明异常强烈的对称性在物理系统从一种状态转变为另一种状态的神秘时刻是普遍存在的。强大的对称性，称为共形不变性（conformal invariance），实际上是三个独立的对称性的包，它们都包含在其中。  现在，在 12 月发布的证明中，一个由五名数学家组成的团队比以往任何时候都更接近证明了共形不变性是这些物理系统在相位之间转换时的必要特征。这项工作确定了旋转不变性——共形不变性中包含的三个对称之一——存在于各种物理系统的状态之间的边界上。 “这是一项重大贡献。这个问题已经开放了很长时间，”以色列魏茨曼科学研究所的 Gady Kozma 说。 旋转不变性是圆表现出的对称性：将其旋转任意度数，它看起来都一样。在处于相变边缘的物理系统的背景中，这意味着无论系统模型如何旋转，系统的许多属性都表现相同。 早期的结果已经确定旋转不变性适用于两个特定模型，但他们的方法不够灵活，无法用于其他模型。新的证明打破了这一历史，标志着旋转不变性首次被证明是广泛类别模型中的普遍现象。 高级科学研究所 (IHES) 和日内瓦大学的 Hugo Duminil-Copin 说：“这种普遍性结果更加有趣”，因为这意味着无论物理系统模型之间的差异如何，都会出现相同的模式。 Duminil-Copin 与里昂高等师范学院的 Karol Kajetan Kozlowski、日内瓦大学的 Dmitry Krachun、弗里堡大学的 Ioan Manolescu 以及 IHES 和巴黎萨克雷大学的 Mendes Oulamara 是这项工作的合著者。 这项新工作还带来了希望，数学家们可能正在接近一个更加雄心勃勃的结果：证明这些物理模型是共形不变的。在过去的几十年里，数学家已经证明了共形不变性适用于一些特定的模型，但他们一直无法证明它适用于所有模型，正如他们怀疑的那样。这个新的证明为沿着这些路线获得全面的结果奠定了基础。 “这已经是一个非常大的突破，”日内瓦大学的Stanislav Smirnov说。“[共形不变性]现在看起来触手可及。” 神奇时刻 一种状态与另一种状态之间的转换是自然界中一些最令人着迷的事件。有些是突然的，比如水加热成蒸汽或冷却成冰时的相变。其他的，比如新工作中研究的相变，逐渐演变，在两种状态之间有一个模糊的边界。正是在这里，在这些关键点，系统悬而未决，既不是原来的样子，也不是它即将变成的样子。 数学家们试图用简化的模型来概况这种魔法。 举个例子，当你加热铁时会发生什么。超过一定温度，它会失去磁性。这种变化发生在数以百万计的嘶嘶作响的原子身上，它们的行为就像翻转的微型磁铁，不再与其邻居的磁性位置对齐。大约 1,000 华氏度时，热量胜出，磁铁就仅仅变成了一块普通金属。 数学家用伊辛模型（ Ising model）研究这个过程。它将一块铁块想象成一个二维方形格子，很像一张方格纸上的网格。该模型将铁原子置于网格线的交点处，并将它们表示为向上或向下的箭头。 Ising 模型在 1950 年代被广泛用作表示临界点附近物理系统的工具。这些包括失去磁性的金属以及空气中的气液转变以及合金中有序和无序之间的转换。这些都是非常不同类型的系统，在微观层面上以非常不同的方式运行。 然后，在 1970 年，年轻的物理学家亚历山大·波利亚科夫 (Alexander Polyakov) 预测，尽管这些系统存在明显差异，但这些系统在其临界点都表现出共形不变性。随后数十年的分析使物理学家相信波利亚科夫是对的。但是严格证明它是对的，这一艰巨工作就留给了数学家们。 对称的对称性 共形不变性由三种类型的对称性组成，它们合并为一种更广泛的对称性。你可以移动对象（平移对称），将它们旋转任意度数（旋转对称或不变性），或更改它们的大小（缩放对称，比例对称），所有这些都不会改变它们的任何角度。 “[共形不变性] 有时我称之为'统治它们的对称性’，因为它是一种整体对称性，比其他三种对称性更强，”Duminil-Copin说。 共形不变性以更微妙的方式出现在物理模型中。在 Ising 模型中，当磁性仍然完整且尚未发生相变时，大多数箭头指向一个巨大的原子团。还有一些小集群，其中所有箭头都指向下方。但是在临界温度下，原子可以从比以前更远的距离相互影响。突然间，各处的原子排列都变得不稳定：大小不一、箭头朝上或朝下的团簇同时出现，磁性即将消失。 伊辛模型中的共形不变性 伊辛模型是一种网格状结构，可用于许多物理系统的建模。 系统经历相变之前： 下方的伊辛模型中，不同的颜色代表原子的不同磁场方向。大部分原子按方向排列，网格非共形不变量：在原始网格和变换网格中排好的原子团具有不同的尺寸。 一个共形变换包含一种规模的变化
系统在相变过程之中： 原子快速改变它们的磁场方向，网格共形不变，在原始网格和变换网格中排好的原子团具有不同的尺寸：
在这个临界点，数学家从很远的地方观察模型并研究箭头之间的相关性，这表征了任何给定的成对原子指向同一方向的可能性。在此设置中，共形不变性意味着你可以平移、旋转和重新缩放网格，而不会扭曲这些相关性。也就是说，如果两个箭头有 50% 的机会指向同一方向，然后应用这些对称性，那么在晶格中占据相同位置的箭头也有 50% 的机会对齐。 结果是，如果将原始晶格模型与新的变换晶格模型进行比较，你将无法分辨哪个是哪个。重要的是，相变之前的 Ising 模型并非如此。在那里，如果你将晶格的顶部角落吹气吹成与原始尺寸相同的大小（缩放转换），你还将增加向下箭头小岛的典型尺寸，从而很明显看出哪个是原始晶格。 共形不变性的存在具有直接的物理意义：它表明即使你调整物质的微观细节，系统的全局行为也不会改变。它还暗示了某种数学优雅，在短暂的插曲中，就像整个系统正在打破其总体形式并成为其他东西一样。 第一个证明 2001 年，Smirnov提出了物理模型中共形不变性的第一个严格数学证明。它适用于渗透模型，即液体在多孔介质（如石头）中穿过迷宫的过程。 Smirnov研究了三角形晶格上的渗透，其中水只能流过“开放”的顶点。最初，每个顶点对水流开放的概率相同。当概率较低时，水一路穿过石头的可能性较低。 但是随着你慢慢增加概率，会出现一个点，即有足够多的顶点打开以创建跨越石头的第一条路径。Smirnov 证明，在临界阈值处，三角形晶格是共形不变的，这意味着无论你如何使用共形对称对其进行变换，都会发生渗透。 五年后，在 2006 年国际数学家大会上，Smirnov宣布他再次证明了共形不变性，这一次是在伊辛模型中。结合他 2001 年的证明，这项开创性的工作为他赢得了数学界的最高荣誉菲尔兹奖。 从那以后的几年里，其他证据逐例涌现，为特定模型建立了共形不变性。没有人能够证明波利亚科夫所设想的普遍性。 纽约大学阿布扎比分校的数学物理学家Federico Camia说：“之前的证明是针对特定模型量身定制的。“你有一个非常具体的工具来证明一个非常具体的模型。” Smirnov本人承认，他的两个证明都依赖于他使用的两个模型中存在但通常不可用的某种“魔法”。 “因为它使用了魔法，所以它只在有魔法的情况下有效，我们在其他情况下无法找到魔法，”他说。 这项新工作是第一个打破这种模式的工作——证明了旋转不变性（共形不变性的核心特征）的广泛存在。 一次一个 Duminil-Copin 在 2000 年代后期首次开始考虑证明通用的共形不变性，当时他还是 Smirnov 在日内瓦大学的研究生。他对导师技术的光芒——以及他们的局限性有着独特的理解。Smirnov绕过了分别证明所有三个对称性的需求，而是找到了建立共形不变性的直接途径——就像通往山顶的捷径一样。 “他是一个了不起的问题解决者。他通过在这座巨大的山上找到入口证明了两种统计物理模型的共形不变性，就像他经过的这种关键难点一样，”Duminil-Copin 说。
在研究生毕业后的几年里，Duminil-Copin 致力于建立一套可能最终让他超越 Smirnov 工作的证明。当他和他的合著者开始认真研究共形不变性时，他们已经准备好采用与 Smirnov 不同的方法。他们没有用魔法冒险，而是回到了波利亚科夫和后来的物理学家提出的关于共形不变性的最初假设。 物理学家需要分三个步骤进行证明，每个步骤证明用共形不变性表示的一种对称性：平移不变性、旋转不变性和缩放不变性。分别证明它们中的每一个，你就会得到共形不变性。 考虑到这一点，作者首先着手证明缩放不变性，认为旋转不变性将是最困难的对称性，并且知道平移不变性足够简单，不需要自己证明。在尝试这一点时，他们意识到他们可以证明在正方形和矩形网格上的各种渗流模型的临界点处存在旋转不变性。 他们使用了概率论中的一种称为耦合（coupling）的技术，该技术可以直接比较正方形晶格与旋转矩形晶格的大尺度行为。通过将这种方法与另一个称为可积性（integrability）的数学领域的思想相结合，该领域研究演化系统中的隐藏结构，他们能够证明模型中关键点的行为是相同的——从而建立旋转不变性。然后他们证明了他们的结果可以推广到其他可以应用相同耦合的物理模型。 最终结果有力地证明了旋转不变性是已知二维模型的一个大子集的普遍属性。他们相信，他们工作的成功表明，融合了不同数学领域的一组类似的折衷技术对于在共形不变性方面取得进一步进展是必要的。 “我认为，在共形不变性的论证和相变研究中，你需要每样东西来一点，这将越来越真实。你不能只从一个角度来攻击它，”Duminil-Copin 说。 最后一步 自 Smirnov 2001 年的结果以来，数学家第一次对证明共形不变性的普遍性这一长期存在的挑战有了新的认识。与之前的工作不同，这个新结果开辟了新的道路。通过遵循自下而上的方法，他们旨在一次证明一个组成部分的对称性，研究人员希望他们奠定了最终将支持一组普遍结果的基础。 现在，随着旋转不变性的搞定，Duminil-Copin 和他的同事们将目光投向了缩放（尺度）不变性，这是他们最初的目标。考虑到最近关于旋转对称的工作以及平移对称不需要自己的证明这一事实，缩放不变性的证明将使数学家处于证明完全共形不变性的风口浪尖。他们方法的灵活性使研究人员对其可以做得到感到乐观。 “我绝对认为第三步很快就会来临，”Duminil-Copin说。“如果不是我们，那就是更聪明的人，但可以肯定的是，这很快就会发生。” 然而，旋转不变性的证明花了五年时间，所以下一个结果可能还需要一些时间。尽管如此，Smirnov 还是希望二维共形不变性最终可以实现。 “这可能意味着一周，也可能意味着五年，但我比 11 月时乐观得多，”Smirnov说。 |
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