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一个关于鼓的有趣问题开启了几十年的探究 作者：Rachel Crowell 2022-6-28 译者：zzllrr小乐 2022-6-28 50多年前，波兰裔美国数学家马克·卡克（Mark Kac）在他1966年的论文《人能听到鼓的形状吗？》（ https://www./stable/2313748?origin=JSTOR-pdf ） 中提出了一个滑稽但数学深刻的问题。换句话说，如果你听到有人敲打鼓，并且你知道它发出的声音的频率，你后续能弄清楚产生这些声音的鼓的形状吗？或者，多个鼓形状可以创建完全相同的频率集吗？ Kac不是第一个提出这个问题或相关问题的人，但他在这个问题上引起了相当大的关注。1968年，他凭借1966年的论文获得了美国数学协会的查文尼特奖（Chauvenet Prize），该奖专注于数学阐述。“它写得很好，很容易获得，”瑞典查尔姆斯理工大学的数学家Julie Rowlett说。 Kac的工作将这些问题推向了聚光灯下，这些问题属于一个名为等谱几何（isospectral geometry）的数学领域，激励研究人员对不同的形状和曲面提出类似的问题。他们的工作点燃了一个研究领域，这个领域今天仍然活跃并不断发展。 听鼓
在Kac发表论文20多年后，三位数学家证明（ https://www./journals/bull/1992-27-01/S0273-0979-1992-00289-6/S0273-0979-1992-00289-6.pdf ）：你实际上听不到鼓的形状。该团队能够制作出多个具有不同几何形状的鼓的例子（ http://www./publicoutreach/feature-column/fcarc-199706 ），而产生相同频率的声音。 研究人员的发现开始以一种新的方式结晶，而其中一位数学家卡罗琳·戈登（Carolyn Gordon），现在是达特茅斯学院的名誉教授，正在对欧洲进行短暂的访问。她曾前往位于黑森林的德国上沃尔法赫数学研究所。戈登说，尽管寄居到一个“田园诗般的地方，你离一切都很远”有很多好处，但她在沃尔法赫的时间“恰好是团队研究听觉形状的那一周”。 多年来，她一直在研究相关问题。戈登的博士论文涉及研究如何辨别“以某种抽象方式呈现的两个形状”是否相同，她说。通过另一个研究问题，她“溜进了”研究鼓的问题。 但该研究所的设立并不是为了让游客轻松到达外部世界。“有一部手机，你可以在晚上的特定时间使用，但你必须排队等候，”戈登说。“连接具有挑战性，但这是一个激动人心的时刻。她团队中的另一位数学家大卫·韦伯（David Webb）与戈登结婚，他也有类似的记忆。“我们试图尽可能快速有效地解决这个问题，因为这个问题已经开放了很长一段时间，我们渴望发表一些东西，”韦伯说。他现在是达特茅斯的数学家。 当研究人员意识到戈登以前认为行不通的一个例子只是他们需要展示两个听起来相同的不同形状的鼓时，发生了一个转折点。“我们得到了其他复杂得多的多对鼓的想法。我们制作了这些巨大的纸质建筑“来代表不同形状的鼓，然后”试图砸碎它们“，她说。在创建了韦伯称之为纸“怪物”（paper monstrosities）之后，数学家们发现它们不起作用。“然后我们回到了原来的那对鼓，意识到这很好，”戈登说。 实际上，他们的工作回答了一个早期研究人员认为棘手的问题。1882年，出生于德国的英国物理学家亚瑟·舒斯特（Arthur Schuster）写道：“找出振动系统发出的不同曲调是一个问题，在某些特殊情况下可能是可以解决的，也可能不可解决，但是它会让最熟练的数学家感到困惑，以解决逆问题，并通过一个铃铛能够发出的声音找出这个铃铛的形状。 这一发现是重要的一步，但仍然留下了许多未解答的问题。 规则或例外
在过去的几十年里，研究人员已经解决了一系列关于“听到”形状声音的问题。 事实证明，你能听到一个三角形（triangle）的形状，这个结果首先在凯瑟琳·杜尔索（Catherine Durso）1988年为麻省理工学院（Massachusetts Institute of Technology）撰写的博士论文（ https:///download/pdf/19878858.pdf ）中得到了证实。你还可以听到平行四边形（parallelograms）和锐角梯形（acute trapezoid，有两个内角小于90°）的形状，根据Rowlett和加州大学欧文分校数学家Lu Zhiqin 在2015年发表的一篇论文。这两种形状都能产生独特的声音。这篇论文产生了更多有趣的发现，Rowlett解释说。 “假设你正在制作四边形鼓，所以有四个直边，”她说。“你将能够听到一个正方形的。这听起来很特别。三角形鼓也是如此：等边三角形鼓听起来很特别，不像其他任何一个。此外，对于任何规则的（正）多边形鼓 - 具有相等边长和相等内角的形状 - “你将始终能够听到它。我喜欢认为这听起来特别好听，“Rowlett说。 你还可以听到截断锥体的形状（ https://journals./pre/abstract/10.1103/PhysRevE.104.065005 ） - 即尖尖被切断的锥体，研究人员在2021年12月的《物理评论E》杂志上报道。同样在2021年，Rowlett和她的同事们证明（ https://aip./doi/10.1063/5.0036384 ），如果梯形不是钝的，你可以从声音中辨别出梯形的形状。 然而，在关于听觉形状的所有独特结果中，另一组研究人员指出了一个悬而未决的想法还有待观察：是否能够从声音中辨别出给定类型形状或表面的轮廓。 从理论和实践的角度来看，形状与其相关频率集之间的关系问题“远非封闭的”（ https:///abs/1811.11465v2 ），研究人员在2018年IEEE/CVF 计算机视觉和模式识别会议上发表的一篇论文中写道。“具体来说，目前还不确定反例”，例如鼓的情况，“是规则还是例外。到目前为止，一切都指向后者。 一些关于“听觉”形状的问题已经把研究人员带到了甚至难以想象的地方：更高的维度。 参观奇幻维度
Rowlett最近的一篇预印本论文（ https:///abs/2110.09457 ）与数学家John Milnor（约翰·米尔诺，目前在Stony Brook大学）在1964年解决的一个问题有关。它涉及超越熟悉的三维空间，进入一个难以想象的16维数学领域。 “我们正在思考[平坦的]圆环面（tori）”Rowlett说。在一维中，圆环面（torus）“只是一个圆”，她指出。在三维空间中，数学家经常将圆环面描述为具有亮面甜甜圈（doughnut）的形状，尽管它们通常仅指含糖的表面，而不是其面团内部。 但Milnor考虑了当人们聆听更神秘和抽象的表面形状时会发生什么：16维圆环面。他发现，基本上，人们听不到16维的圆环面的形状。 跳到第16维度似乎很奇怪，但这样做有令人惊讶的实际原因。“你拥有的维度越多，事物在几何上不同的方式就越多，”Rowlett说。因此，她指出，这个案例实际上是“一个很容易看到”这些差异的简单例子。 Milnor的论文只有一页长，“在很大程度上启发了Kac。因此，这是使该领域发展的基本贡献，“Rowlett说。但Milnor的工作留下了一个问题，即人们是否可以听到低维平坦圆环面的形状。“那么15维或14维呢？”Rowlett问道。 Rowlett最近的预印本论文，是她与当时是她的学生的两名研究人员共同撰写的，其动机是她希望发现“临界点”，介于你能听到和听不到平坦的环面形状之间。“3是神奇的数字，”这意味着人们在4个或更多维度上听不到圆环面的形状，她说。 但要达到这个答案，Rowlett的团队需要走一条迂回的道路。令人惊讶的是，她当时的学生Erik Nilsson和Felix Rydell发现这个问题已经得到了解答。但这个问题的解决方案被埋葬在数学家亚历山大·席曼（Alexander Schiemann）1990年代的工作中。 Schiemann的工作与Rowlett正在思考的问题之间的联系被数学差异所掩盖，以至于它逃脱了更广泛的认可。这主要是因为这个问题的答案“完全是用数论语言发表的，”她说。没有提到“等谱”（isospectral）等关键词。“在数学上证明这一点的论文甚至从未提到过'环面'这个词，”她指出。 因此，在他们尚未发表的论文中，Rowlett，Nilsson和Rydell就Schiemann研究的问题提供了三种数学观点 - 分析，几何和数论 - 建立了桥梁，从三个数学角度理解他的结果的技术方面。 “对这些类型的问题感兴趣的人也可以访问来自不同领域的工具，”Rowlett说。也许现在，当另一个团队需要拿出一个相关的结果时，他们就不必深入挖掘它了，她说。 放大数学音量
在1800年代后期，当舒斯特思考通过铃铛发出的声音来确定铃铛形状的巨大挑战时，麦克风是一种新技术。130多年后，一组研究人员以一种可能震惊舒斯特的方式使用麦克风。他们用它们来表明，从某种意义上说，你可以听到房间的形状（ https://www./doi/10.1073/pnas.1221464110 ） - 特别是凸的，多面体的房间。 研究人员在2013年的一篇论文（ https://www./doi/10.1073/pnas.1221464110 ）中写道，使用一些任意设置的麦克风，研究人员的计算机算法“从单个声音发射中重建房间的完整3D几何形状”。科学家们指出，他们的发现可以应用于建筑声学，VR虚拟现实，音频取证等方面的问题。 自舒斯特时代以来，围绕不同形状和表面的听觉研究景观发生了很大变化。随着来自不同领域的数学思想的持续汇聚和技术的进一步发展，谁知道数学家将在未来几十年内探索什么新的声音和形状。 |
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