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这是2022年高考数学理科全国甲卷的一道概率和期望问题。老黄觉得这类问题对炒股、买彩票很有启发性意义。下面分成两个部分。一部分是就题目本身而言的，是客观的。希望高中生和爱好数学探究的小伙伴们，可以好好看一下。另一部分是与题目没有直接关系的，关于炒股方面的幻想曲，是主观的，希望大家只是把它当作对题目的强化练习，不要运用到实践中去。 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局. 三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军. 已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5, 0.4, 0.8，各项目的比赛结果相互独立. (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望. 分析：(1)甲学校获得冠军的必要条件是得分不少于20分。有四种情形，分别是赢下三项比赛；只输第一项，只输第二项和只输第三项。因此有四个概率，这四个概率不同时也不连续发生，所以最后要把它们加起来。 而赢下三项比赛是连续发生的。所以要把三项比赛的胜率相乘起来。只输一项，那么就要用赢下另两项的概率相乘，再乘于输掉的这一项的概率。 (2)乙学校得分X有四种可能，分别是30分，20分，10分和0分，对应三项全胜，只输一项，只赢一项和三项全负。分别计算四个概率，方法与(1)同理，但不完全相同。 求X的分布列，就是作一个表，来统计四种得分情况各自的概率。而期望E(X)求的是得分相对于概率的加权平均数。 解：甲学校在三个项目中落败的概率分别是0.5, 0.6, 0.2，就是乙对应的获胜概率. (1)甲学校获得冠军的概率为：0.5×0.4×0.8+0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.6. (2)乙学校得分X可能取值有：30, 20, 10, 0. P(30)=0.5×0.6×0.2=0.06; P(20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34; P(10)=0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.44; P(0)=0.5×0.4×0.8=0.16; X的分布列：
所以X的期望为E(X)=30×0.06+20×0.34+10×0.44+0×0.16=13. 下面是一道关于股票的拓展题： 某股民一直在关注A，B两支股票，根据统计得到如下资料： 股价：A股票4元/股，B股票2元/股. 上涨概率：A股票0.3，B股票0.8.（短期投资一天） 预计涨(跌)幅：5%(2%)，5%(7%). 目前该股民手上有2万元。如果该股民平均投资，你觉得他的收获Y的期 望是多少呢? 这个问题怎么和上面的问题等价起来呢？很明显的，A，B两支股票对应的是两个比赛项目，如果增加一支股票，运算量会太大，所以老黄删除了一支。上涨下跌对应着胜负关系。A股上涨每股挣0.20元，下跌每股亏0.12元；B股上涨每股挣0.10元，下跌每股亏0.14元。这就是“得分的情况”。 该股民平均投资，大大降低了这道题的难度，如果改问“该股民要怎么投资，收获期 望 最高”，那就悲催了。可见该股民和老黄一样，水平有限，不敢提这样的问题，从而也会少挣很多钱。平均投资，相当于每项比赛都是一场决胜。每支股票分别购买了：A股票2500股，B股票5000股。 现在需要计算的是，该股民在各种概率下的收益。首先是两支股票全涨的情况，概率是0.3×0.8=0.24，收益是2500×0.20+5000×0.10=1000元；如果A涨而B跌，那么概率是：0.3×0.2=0.06，收益是2500×0.20-5000×0.14=-200元；如果A跌而B涨，那么概率是0.7×0.8=0.56， 收益是-2500×0.12+5000×0.10=200元；如果两支股票全跌，概率是0.7×0.2=0.14，收益是：-2500×0.12-5000×0.14=-1000元. 可以列成分布列的形式，不过这里老黄就省了，直接算收获期望。结果是： E(Y)=1000×0.24-200×0.06+200×0.56-1000×0.14=200. 投入二万元，挣它200块，你觉得这个投入收益比还合适吗？老黄这道题设计得合理吗？ |
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来自： 老黄的图书馆 > 《高考数学真题分析》
