【原】质能等当关系

能量就是质量，质量就是能量：质能等当关系

构成我们的材料也就是构成梦幻的材料。

——选自莎士比亚的《暴风雨》

我们曾经用这样一个公式表示牛顿运动定律：

牛顿假定，一个物体的惯性质量不因该物体的运动而改变。这意味着，如果我们用一个不变的力持续地去推动这个物体，它就会以一个不变的加速度不断地加速，最终就有可能以超光速运动。然而，我们已经讲过，相对论不允许物体以超光速运动。因此，牛顿运动定律与狭义相对论不相容，必须对它进行改造。那么，问题出在那里呢？我们现在已经知道，惯性质量不随运动而变这个假设并不正确，一个物体的惯性质量随着它的运动速率的增加而增大。事实上，早在相对论诞生之前，考夫曼就从实验上得出了运动粒子的质量与其速率有关这个结论。1901年，考夫曼在研究镭辐射中的β射线在电磁场中的偏转时发现，电子的电荷与质量的比值随着电子的运动速率的增加而减小。如果假定电子的电量是一个常数，就可以得出，电子的质量随速率的增加而增大。这个实验的结果后来成为狭义相对论的有力支柱。

运动物体的质量

从质量随速率的变化曲线中容易看出，在物体的运动速率远远低于光速（这就是我们的日常生活）的情况下，它的质量的增加是非常小的。比如说，在日常生活中，物体的速率顶多能够达到每秒300米（这大概等于喷气式飞机的飞行速率），即使是环绕地球运行的人造卫星，它的速率也只不过是每秒10千米左右，以这样的速率运动，物体的质量的增加根本不可能被观测到。当然，如果物体的运动速率足够高，质量的增加是相当可观的。事实上，许多微观粒子的运动速率非常接近光速。如果质量确实随速率的增加而增大，那么，当高速运动的带电粒子通过一个恒定的磁场时，它的运动路径的弯曲程度就要比不考虑质量增加时的弯曲程度小一些，也就是路径没有那么弯曲，因为运动路径的弯曲程度与质量成反比。如果你想用数学公式更细致地把握这个结论，回忆一下带电粒子在恒定磁场中运动时的情形。当带电粒子通过恒定磁场时，运动轨道的半径与质量成正比：

由这个公式可以看出，对于一个以确定的速率运动的粒子，在磁感应强度保持不变的情况下，如果惯性质量确实随速率增加而增大，那么，运动轨道的半径就会比通常不考虑质量变化所得出的结果大。物理学家通过对以各种速率运动的微观粒子进行观察，充分证实了质量随速率而变这个论断的正确性。

与运动物体的长度收缩和运动的时钟变慢一样，运动物体的质量增加也是双向的。一个物体的质量究竟有多大，取决于这个物体相对于观测者的运动速率。比如说，如果宇航员和地球上的一位朋友各自带上一个标着1千克的砝码，那么，当宇航员在进行他的远征时，地球上的人将发现，宇航员的砝码的质量大于1千克；但是，相对于宇航员来说，他自己的砝码并没有运动，质量仍然是1千克。相反，在他看来，地球上的砝码却以相同的速率朝反方向运动，因此，他将发现，地球上的砝码的质量大于1千克。当然，你也可以将你自己的体重当作一种砝码，于是，你到底有多“重”，完全取决于由谁来观测你。当你相对于某个观测者运动时，你相对于他运动得越快，在他看来，你就会越“重”。

于是，我们现在有了两种不同的质量。当一个物体相对于某个观测者静止时，该观测者所测得的质量叫做该物体的静质量。比如说对上面提到的两个砝码，地球上的观测者测量静止在地面上的砝码的质量，他得到的是这个砝码的静质量；同样，宇航员测量放置在飞船上的砝码的质量，他得到的也是这个砝码的静质量。两个观测者得到的各自的砝码的静质量在数值上是相同的，都等于砝码上标称的数值。换句话说，静质量就是砝码上标称的质量。从这个意义上说，静质量量度一个物体的内部所包含的物质的量，即这个物体内所含有的原子的数目。因此，静质量是一个不随物体的运动状态而变的量，是反映物体自身特性的量，或者说是物体的一种属性；当一个物体相对于某个观测者运动时，该观测者所测得的质量叫做该物体的动质量，也叫做相对论性质量。比如说，地面上的观测者测量宇宙飞船上的砝码的质量，或者宇航员测量地面上的砝码的质量，他们得到的都是对方砝码的动质量。动质量量度一个物体所具有的惯性，但是不反映这个物体的属性。综上所述，静质量是绝对的，它不随物体的运动状态而变，而动质量则是相对的，物体的运动状态不同，就会具有不同的惯性。在日常生活中，物体的运动速率很小，它的动质量与静质量几乎相等。但是，当物体以很高的速率运动时，动质量就比静质量大得多了。为了使用上的方便，我们以后把动质量简称为质量。

物体的质量随运动速率的增加而增大，对这个结论的进一步分析导致了质量与能量之间的联系。将一个静止的物体加速到某个速率，需要对这个物体做功。我们已经讲过，对一个物体做功就增加了这个物体的能量。另一方面，狭义相对论告诉我们，物体运动时的质量要大于静止时的质量。这就是说，当我们对一个物体做功时，在增加这个物体的能量的同时也增加这个物体的质量。这就意味着增加的能量与增加的质量是有联系的。定量的分析给出一个联系两者的公式：

其中 m₀ 代表物体的静质量，m 代表物体的动质量，K 代表物体从静止被加速到某个速率时所增加的能量，也就是物体的动能。由于这个公式的左边是能量，因此，公式右边相减的两项也一定代表能量。如果注意到这两项中的质量分别是物体运动时和静止时的质量，就不难推断，它们分别代表物体在运动时和静止时所具有的能量。于是，我们得到了一个把质量和能量联系起来的公式：

这就是狭义相对论的一个著名的公式，叫做质能等当关系式。其中光速是一个普适常数，在所有惯性参考系中有相同的数值。

练习题：在经典力学中，物体以一定速率运动时的动能可以表示成

它是上述相对论动能表达式当速率远低于光速时的近似。请你证明这个结论。为了证明这个结论，你可能要用到这样一个近似公式：当 x 是一个比 1 小得多的数字时，

对质量和能量之间的关系做进一步的分析表明，不仅推动一个物体所输入的能量会增加这个物体的质量。实际上，不管你向这个物体输入什么形式的能量，都会使这个物体的质量增加。比如说，如果你不是以用力去推动一个物体这样的方式给予它能量，而是给这个物体加热，你也会增加这个物体的质量。但是，这时你并没有使这个物体运动，因此，物体的质量增加了之后，它仍然是静止的。于是，你用输入能量的方法增加了这个物体的静质量。相反，减小一个物体的静质量也是可能的，只要你用适当的方法使这个物体释放能量就行了。我们甚至可以用适当的方法将一个物体内部所含有的能量全部释放出来。这意味着什么呢？这意味着与这个物体的能量所对应的静质量全部消失了，对应的物体也就不复存在了。

质能等当关系意味着任何形式的能量都具有相应的质量。我们在前面已经讲过，场具有能量，于是，按照质能等当关系，场具有质量。任何具有静质量的物体，在适当的条件下可以将它的全部静质量转变为场的能量；当然，任何形式的能量在适当的条件下也可以转变为具有静质量的物体。这已经被现代物理学中粒子—反粒子对湮没和产生的实验完美地证实。当一个粒子和一个反粒子在静止状态下相互接触时，它们就会蜕变成两束伽玛射线。如果每一个粒子和反粒子都带有静质量m₀，那么，每一束射线就具有精确的能量m₀c²。这个实验提供了一个直截了当的方法，用来确定与一个粒子的静质量相联系的能量。当然，高能伽玛射线也可以在适当的条件下转变成一对粒子—反粒子对，它们的总质量乘以光速的平方也精确地等于伽玛射线的能量。