【原】散度运算实例

散度运算实例

在物理学中，有几个重要的矢量函数。接下来将以它们为例子演示矢量函数的散度的运算方法。

最简单最常用的矢量函数是位置矢量，在直角坐标系中，这个函数的三个分量为，根据矢量函数的散度的计算公式，在直角坐标系中，散度可以按照以下公式运算：

由此得到位置矢量函数的散度。

有时候还需要对位置矢量方向的单位矢量做散度。单位矢量本身是不容易进行运算的，因此要把这个单位矢量用位置矢量本身来表示：。这个矢量在直角坐标系中的解析表达式为

各个分量的偏导数为

把这三个结果加起来，就得到径向单位矢量的散度：

第一个重要的矢量函数是数值与距离的平方成反比的矢量函数：。这个函数作为有心力的表达式首次出现在有关万有引力的问题中，之后在电磁学的领域中频繁地出现。我们来看一看，对这个函数做散度会得到什么结果。在直角坐标系中，这个函数的解析表达式为

三个分量的偏导数分别为

由此得到这个矢量函数的散度

咋一看，事情似乎已经做完了。但是，细心想一想，就会发现，这个平方反比的函数在原点处是奇异的，因此，在原点处一阶偏导数不存在。但是，用常规的求偏导数的方法得到的结果是一个有限的确定的正常值，因此，这个矢量函数在原点处的散度不能用常规的求导数的方法得到，而必须按照散度的定义式进行运算。其实，函数在原点处是奇异的这种情况在求标量函数的梯度的例子中就曾经出现过，当时已经得到该标量函数的梯度为。不过，这个用常规的求导数的方法得到的梯度表达式当位置趋向原点时是奇异的；另一方面，在这个例子中，被求散度的标量函数在原点处的一阶偏导数显然是不存在的。因此，用求导数的方法得到的梯度表达式适用于全空间。这种情况在对电偶极子的势取梯度时也曾经出现过。

下面就来看一看如何按照散度的定义式求这个矢量函数在原点处的散度。在原点的邻域取一个半径R为无穷小的球面S，球心在原点上。在这个球面上应用散度的定义式：

结果发现，这个函数在原点处的散度确实是奇异的，并且是无穷大这种奇异性。于是，矢量函数的散度在原点处是无穷大，在其余的位置则等于零。这种情况在数学上可以用一个叫做函数的特殊的函数来表示。函数具有这样的性质：

其中V是围绕原点的一个任意形状和任意大小的空间。为了得到这个平方反比函数在原点处的散度的具体表达式，令，取一个以原点为中心，半径R为任意大小的球面S。在这个球面内的空间V中积分刚刚设令的表达式，并利用散度定理将球体内的积分转换成球面上的积分：

这意味着，函数具有函数的特征。于是，平方反比矢量函数的散度在原点处的这种奇异性与非原点处的结果可以结合起来，用一个统一的表达式来表示这个函数在全空间上的散度：

平面电磁波的电场强度可以用这样一个函数来表示：

式子右边的矢量是一个常矢量。我们来看一看怎样对这个函数做散度。首先求出这个矢量的三个分量对各自对应的变量的偏导数：

把这三个偏导数加起来就得到平面电磁波的电场强度的散度：

从上面的例子中我们似乎感觉到了对矢量函数做散度运算的一些规则：由于做散度是一种偏导数运算，所以，导数的一些运算法则应该在散度运算中有所表现。让我们在更普遍的情形下对这些规则做出推演。设想有一个矢量函数，它由一个标量函数和另一个矢量函数相乘得到：。现在对这个矢量函数做散度运算：

这就得到了对标量函数与矢量函数相乘做散度的运算法则。如果标量函数是一个常数，第一项等于零；如果矢量函数A是一个常矢量，第二项等于零，这正是在平面电磁波那个例子中得到的结果。此外，凡是一阶导数所具有的性质，矢量函数的散度都同样适用。比如说，两个矢量函数之和的散度等于对这两个矢量函数分别做散度之后再求和。如此等等，不再累赘。