实物的波粒二象性

物理概念是人类心智的自由创造，而不是由外部世界唯一决定的，不管它看起来多么像是那样。

——爱因斯坦

从实物波的概念出发，能够较为自然地导出玻尔的量子化条件。比如在圆轨道的情况下，当电子绕核运动一周时，相应的波应该能够光滑地衔接起来，这就要求圆周是波长的整数倍：

将这个式子代入德布罗意关系中就可以得出电子的角动量为：

从量子力学的角度看，上述推导并不确切，能处理的问题也很有限，但是，其物理图象却极有启发性。

1926年，薛定谔进一步推广了德布罗意波的概念，构造出一个反映量子体系的实物波的波动方程，建立起波动力学，成功地解决了氢原子光谱等一系列重大问题。波动方程是一个关于实物波的波函数的二阶线性偏微分方程。在波动力学中，分立能级问题表现为在一定的边界条件下求解微分方程的本征值问题。

在经典的概念中，粒子性和波动性具有明确的含义。当我们谈到“粒子”这个概念时，总是意味着具有确定的质量和确定的电荷等“颗粒性”的物理客体，它们具有确切的位置和确切的运动轨道；当我们谈到“波动”这个概念时，就意味着物理量的空间分布作周期性的变化，并呈现出干涉和衍射等反映相干叠加性的现象。如何将这两种截然不同的特性统一到一个物理客体上呢？

为解释电子具有的波动性，有人曾经把电子波看作是空间中连续分布的某种实物波包，波包的大小代表了电子的大小，波包的群速度就是电子的运动速度。但是，只要稍加分析，这种看法就碰到难以克服的困难。比如说，在非相对论性的情况下，自由粒子的动量为p = mv，利用德布罗意关系式可以得到

由此可见，组成波包的不同频率成份的行进速率不同，于是，波包在传播过程中必然要扩散。然而，至少在现有的实验条件下，人们并没有观察到电子变“胖”的现象。显然，实物波包的观点夸大了物理客体的波动性。

与此相反，有人认为电子的波动性来源于大量电子分布在空间中所形成的疏密波。这可以通过对电子的双缝干涉进行多时间段实验来说明。

在进行干涉实验的时候，在显示屏幕的位置放上电子探测器，用以测量电子的到达位置。在同一台仪器上以及同样的实验环境中进行若干次时间长短不一样的实验。

通过实验发现， 如果实验时间很短，电子就只是随机地打到若干个位置上，这显示出电子具有粒子的特性；如果实验时间比较长，电子的落脚点就会连成一片，形成通常的干涉条纹，这显示出电子具有波动的特性。结果显示，可以将实物波理解成大量粒子形成的疏密波。

然而，单个电子就具有波动性。只有承认这一点，才能理解电子束强度很弱而实验时间很长的实验结果和氢原子的量子特性。

显然，在经典的意义下，粒子性和波动性难以统一到一个物理客体上。事实上，由以上的分析可以看出，电子既不是经典意义下的粒子，也不是经典意义下的波。对上面这个实验做进一步分析表明，电子所呈现的粒子性只是它的颗粒性，并不与“粒子有确切的轨道”这个概念相关；电子所呈现的波动性只不过是波动性中最本质的东西：叠加性，并不一定与某种实在的物理量在空间的周期分布相联系。因此，波粒二象性只是把粒子的“颗粒性”与波的“叠加性”统一起来。在量子的概念下，电子既是粒子又是波，粒子的量子化必定具有波动性，波的量子化必定具有粒子性，粒子是波的量子。在不同的实验条件下，物理客体可以呈现出不同的性质。