【原】一维谐振子：导出厄米方程

简谐振动是一种很有代表性的振动方式。振动是物质运动的一种常见的形式，所有的振动都可以被分解成若干不同频率和不同振幅的相互独立的一维简谐振动的叠加。在微观世界，许多运动都具有振动的形式，从而都可以被分解成若干相互独立的一维简谐振动。因此，在量子力学中研究一维简谐振动的性质就显得非常重要。

取振动物体的运动方向为x轴，振动的平衡位置为坐标的原点和势能的零点，一维谐振子的势能就可以写成

做简谐振动的粒子的薛定谔方程为：

对空间坐标做如下变量替换：

引入一个代表粒子能量的常数

薛定谔方程就可以写成如下简单的形式：

显然，无穷远点是上述微分方程的奇点，所以，先研究方程的解在无穷远处的性质是有好处的。在无穷远处，上述形式的薛定谔方程可以近似地表示成

由于谐振子的势能是属于无限深势阱一类的势能，因此，只存在束缚态。由此得到波函数在无穷远处的渐近行为是：

知道了微分方程的解在无穷远处的行为之后，就可以设方程具有如下形式的解：

其中的函数u是一个具有这样的性质的函数：在无穷远处，它的发散程度比它前面那个指数函数的收敛程度低，这样才能够保证波函数最终在无穷远处趋于零。把这样形式的波函数代入前面的薛定谔方程中，经过简单的处理就得到函数u满足的微分方方程：

这个方程被称为厄米方程。

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