【原】Klein-Gordon方程

把非相对论性量子力学推广到高速领域的原则是：相对论量子力学的基本方程必须既具有Lorentz不变性，又符合量子力学的基本原理。20世纪20年代末，Klein和Dirac按照这个原则建立了0自旋粒子和1/2自旋粒子的相对论性波动方程。由于这样建立起来的方程存在负能解和负概率的困难，第一次尝试未能取得预期的成功。不过，这次尝试为建立量子场论奠定了基础。

在非相对论性的情况下，自由粒子的Hamilton量是H=p²/2m。如果要向量子力学过渡，则要将其中的每一个物理量与相应的算符对应起来：

                (1.1.1)

由于微观粒子具有波粒二象性，粒子的量子态要由希尔伯特空间中的态矢量描写，这个态矢量满足含时的Schrödinger方程：

在这个方程中，时间和空间明显地处于不对称的地位，不具有洛伦兹不变性。

在相对论中，自由粒子的Hamilton量是

按照上面的方式做算符对应，就可以建立一个相对论性的波动方程：

显然，在这个方程中，时间和空间仍然处于不对称的地位。如果将开平方算符做级数展开，那么，展开式将包含对空间坐标的无穷阶导数，由此导致波函数是非定域的。于是，按照以上方式得到的将不是定域的量子力学理论。

所谓定域是指：一个函数在某点上的变化方式由该函数在有限个邻近点上的值确定。比如说，一个二阶微分方程，当某点上的函数值和一阶导数值已知时，方程的解就确定了。函数在某点的一阶导数值已知，意味着在该点的邻近点函数值已知，这正是函数的定域性所要求的。再比如说，一个三阶微分方程，需要知道某点上的函数值和一阶、二阶导数值才能唯一地解出，这意味着需要知道某点以及另外两个邻近点的函数值，如此类推。因此，一个有限阶的微分方程，只要知道某点以及有限个邻近点的函数值，就可以唯一地解出。因此，一个包含有限阶导数的微分方程，它的解就是定域的；如果函数在某点上的变化方式由该函数在某个空间范围内的分布确定，这个函数就是非定域的。导数包含在根式中的微分方程，或者说“无穷阶”微分方程，需要知道某点以及无限个邻近点的函数值，才可以唯一地解出，这正是非定域性的特征。

为了便于讨论，把空间坐标与时间结合起来，引入逆变的和协变的四维时空坐标：

其中逆变分量与协变分量通过时空度规相联系：

                 (1.1.2)

一对相同字母的上下标写在一起代表对这对上下标从0～3求和。其中的时空度规是这个样子的：

总能量与三维动量也结合成一个逆变的四维动量：

相应的协变分量也可以通过时空度规由逆变分量推出。四维动量的长度：

引入时空坐标和能量动量的四维表述，Lorentz协变的四维算符对应更加清晰：

                 (1.1.3)

把这个算符对应用到四维动量长度的表达式中：

为了便于书写，引入一个Lorentz不变算符，称之为d’Alembert算符：

就得到Klein-Gordon方程：

                  (1.1.4)

作为第一个相对论性波动方程，(1.1.4)式最初于1926年到1927年期间以非协变的形式出现：

              (1.1.5)

在Klein-Gordon方程中，时间和空间处于对称的地位，人们预期它具有Lorentz不变性。简单的分析不难发现，要使这个方程具有协变性，必须要求波函数是Lorentz标量函数，标量函数描写0自旋粒子。由这个方程很容易就得出相对论性能量—动量关系：

可是等式却存在负能解，这是无法接受的。负能解后来被解释成与反粒子对应，自然界存在反粒子给这个处理方法强有力的支持。

对(1.1.4)式做进一步讨论。用ψ*左乘(1.1.4)式，再用ψ左乘(1.1.4)式的复共轭方程，把得到的两个方程相减，就可以得到一个新的方程：

这个方程左边的第一项可以改写成这样：

第二项则改写成这样的形式：

容易证明，上述两个等式右边的第二项是相等的：

于是，我们得到了一个四维守恒方程：

它的非协变形式是：

对于平面波解，，其中，这个守恒方程变成：

要使时间导数中除波函数外的量变成无量纲的正的实数，才能将方程看做概率守恒方程，这可以通过对守恒方程乘一个常数得到。把这个结果推广到非平面波的一般解，就得到一个四维守恒流：

一个四维流由三维空间中的标量密度与对应的矢量流密度组成：

于是，由四维守恒流的时间分量给出

四维守恒流的表达式揭示出一个很严峻的问题。Klein-Gordon方程是关于时间的二阶偏微分方程，要确定它的解，就必须给出波函数及其一阶导数在初始时刻的值。然而，对于任意给定的这两个初始条件，四维守恒流的时间分量不可能总是取正值。由于一个非正定的量不能被解释成概率密度，方程的解因而缺乏适当的概率解释，不能被当作波函数看待。由此可见，负概率的困难比负能解困难更具有根本性。由于这个原因，Klein-Gordon方程一度被认为是一次失败的尝试。然而，这个失败却暗示了一个事实：在高能区，粒子的相互作用和相互转化十分普遍，以概率解释为基础的量子力学不再适用。1934年，Pauli和Weisskopf把Klein-Gordon方程解释为场方程，并对其进行量子化，才重新引起人们的关注。