【原】二阶循环群

我们已经初步认识了群的概念，并且看到，构成群的元素不仅可以是普通的数，还可以是对事物的某种操作，比如说绕着某根轴的转动。让我们进一步引入更多的群的实例。

最简单也是最常见的一个群是对数轴上的数做反演。设想数轴上有一个数，我们把这个数改变一个正负号。如果把改变一个数的正负号这种操作用字母来表示，那么，这种操作就可以用数学的语言写成。显然，把一个数的正负号改变一次之后再改变一次，就还原为原来那个数：

如果我们引入符号代表对一个数不做任何操作：，那么，操作集合显然构成一个群。

把上述对数轴上的数的这两个操作推广到对三维空间中的任意矢量的操作：对空间中的任意一个矢量，作用到这个矢量上不改变这个矢量，而作用到这个矢量上则使这个矢量改变一个正负号。显然，对矢量的这种操作与对数轴上的数的操作在性质上一模一样。在这种情况下，操作集合就构成三维空间中的反演群，简称空间反演群。空间反演群只有两个群元，它的乘法规则是：

为了书写的简便起见，从现在开始，把代表群的乘法的星号去掉。上述空间反演群的乘法规则可以用乘法表明显地表示出来：

这个乘法表的意义是这样的：如果有两个群元按先后顺序作用到我们所研究的系统上，那么，可以在上部标题行中找到先作用的那个群元，在左侧标题列中找到后作用的那个群元，这两个群元所在的行和列的交汇处的群元就是它们相乘的结果。

我们再来看一个跟空间反演群相似的实例。考虑由两个粒子a和b组成的系统(a,b)，在这个系统中实施这样一种操作，把两个粒子的位置对调。可以用符号P来表示这种操作：P(a,b)=(b,a)。显然

PP(a,b)=P(b,a)=(a,b)

这相当于不对系统做任何操作。如果用符号表示不对系统做任何操作，很显然，操作集合构成一个群。容易看出，这个群的乘法规则与乘法表跟空间反演群的一模一样：

唯一的区别是使用了不同的符号。将空间反演群的乘法表中的换成P，就得到两个粒子对换群的乘法表。

还有一个相似的例子。如果用符号S表示把1和2这两个数字重排的操作：S(1,2)=(2,1)。为了与今后的讨论衔接，我们用下面的符号来代表这种操作：

它代表把1和2这两个数字互换的操作。仍然用表示不对两个数字做任何操作，那么，也构成一个群，叫二阶置换群。二阶置换群的乘法表与上面两个群的乘法表一模一样：

以上给出的三个群都有这样的特点：它们都有两个群元，其中一个群元不对系统做任何操作，另一个群元对系统做一次操作，这个群元对系统做连续两次操作使系统还原为原来的样子。从乘法表上看，这三个群的乘法表在结构上一模一样。因此，从数学抽象的意义上说，这三个群有相同的群结构，在本质上是一样的。在这个意义上说，上面给出的三个群都可以抽象成这样一个群：，称之为二阶循环群。二阶循环群的乘法表是这样的：

空间反演群、两个粒子对换群、两个数字置换群以及二阶循环群有相同的乘法规则和结构相同的乘法表，从抽象的意义上说，他们具有相同的群结构，在本质上是一样的。我们把这种情况称为“这4个群是同构的”。

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