【原】复变级数

在实数域中，我们曾经讲到序列与级数这两个概念。在复数域中也有这些概念。让我们对这两个概念以及相关的问题做一个简要的回顾。

按照一定顺序排列的一组复数组成一个复数序列，用以下方式标记：

从复数序列的构成中可以看出，一个复数序列实际上是两个实数序列的有序组合，因此，实数序列的许多概念可以直接推广到复数序列。这些概念包括：聚点或极限点；有界序列和无界序列；序列的极限和收敛等。

考虑如下一个复数序列

如果将这个复数序列的各项加起来，就可以得到一个复数无穷级数：

取这个级数的部分和

用这个部分和构造一个序列 {S}，如果这个序列收敛，就说级数是收敛的，用以下方式标记：

称之为级数的和。

将复数级数的每一项按实部与虚部分解：

一个复数级数就可以改写成如下的样子：

由此可以看到，一个复数级数是两个实数级数的有序组合。由于这个原因，关于实数级数的收敛性的判别准则完全可以直接推广到复数级数中。

有时候需要将两个或多个无穷级数乘起来，构造一个新的无穷级数：

在上述等式中，左边是两个级数相乘，右边则是相乘的两个级数按二项式展开之后的求和表达式，这个展开结果的细致表达式如下所示：

由于加法满足交换律，因此，可以把这个表达式的各项重新排序，把两个级数的求和指标之和相同的项归为一类加起来作为一项，这就给出了上面的展开式中每一个用黄色虚线标示出来的求和项。受这个重新排序的表达式的启发，引入一个新的求和指标是方便的。显然，这个新的求和指标从 0 到无穷取值。引入新的求和指标后，在每一个黄色虚线求和项中，保留其中一个求和指标，比如说，保留 k 这个指标。不难发现，在这个求和项中，被保留的求和指标将从 0 到 n 取值。于是，我们得到了一个求和项的求和表达式：

在这个求和项的表达式的基础上，再对 n 从 0 到无穷求和，就得到两个级数相乘后新的级数的表达式：

两个级数相乘的这样一种处理技术在今后处理许多问题时要经常用到。

如果复数级数的每一个通项都是定义在区域 G 内的复变函数

那么，所得到的级数就叫做函数级数：

关于函数级数，在实变级数理论中有几个重要的结论，可以将它们直接推广到复变级数中：①一个函数级数如果在 G 内的每一点都收敛，则它在 G 内收敛，是 G 内的单值函数；②如果级数的每一个通项都在区域 G 内一条分段光滑的曲线上连续，则级数可以逐项求积分；③如果级数的每一项都在区域 G 内单值解析，则和函数是 G 内的解析函数，它的各阶导数可以通过对级数逐项求导得到。以上几个结论都是从实变级数中直接借用过来的，在今后处理各种数学问题时经常要用到。

如果一个级数的通项是幂函数，就把这个级数称为幂级数：

由于在今后处理许多数学物理问题的过程中，经常需要用到幂级数，因此，在这里特别回顾如何处理幂级数收敛性的问题。这些处理方法可以通过将实变级数的处理方法直接推广到复数域而得到。

第一个判断级数收敛性的准则是达朗贝尔判别法。根据达朗贝尔判别法，如果以下的极限存在

那么，当这个极限值小于 1 时，级数是绝对收敛的，而当极限值大于 1 时，级数则是发散的。把这个判别准则用到幂级数就得到如下极限值：

令这个极限值小于 1，就给出了级数的收敛范围：

其中 R 就是确定级数收敛或发散的分水岭，称之为级数的收敛半径。

如果求收敛半径的达朗贝尔公式所要求的极限不存在，就必须改用柯西公式来研究级数的收敛性。根据柯西判别法，级数绝对收敛的条件是

这时候，级数绝对收敛，否则，级数发散。把这个准则用到幂级数中，上述极限值的表达式变成

由此就可以确定级数的收敛半径：

以 a 点为圆心，R 为半径作一个圆周，这个圆周所围的区域就是所研究的级数的收敛圆，当 z 落在这个收敛圆的圆周内时，级数绝对收敛，当 z 落在收敛圆的圆周外时，级数发散。