前面给出了 S₄ 群的七组互逆群元: 从某个子群,比如说 {e,s₁,s₂} 开始,用任意一对不属于 {e,s₁,s₂} 的互逆的群元 g 和 g⁻¹ 按构造共轭子群的方法实施如下操作: s₃{e,s₁,s₂}s₃={e,s₂,s₁} s₄{e,s₁,s₂}s₄={e,s₂,s₁} s₇{e,s₁,s₂}s₁₇={e,s₂₁,s₁₄} s₁₇{e,s₁,s₂}s₇={e,s₁₀,s₂₃} s₁₀{e,s₁,s₂}s₂₃={e,s₁₄,s₂₁} s₂₃{e,s₁,s₂}s₁₀={e,s₉,s₁₂} …… 受二阶循环子群划分为两类共轭子群的特点启发,我们猜测,这四个三阶循环子群之所以相互共轭,应该也与各个群元的置换性质有关。仔细观察这几个群元的置换特点: s₁=(1,2,3),s₂=(1,3,2) s₉=(2,4,3),s₁₂=(2,3,4) s₁₀=(1,4,3),s₂₃=(1,3,4) s₁₄=(1,4,2),s₂₁=(1,2,4) 由于三阶群只存在循环结构,它的仅有的两个非单位群元必定互逆,因此,由前面的数学推导马上可以判断,不可能再有由其他群元构成的三阶子群。 在讨论二阶子群的时候已经发现,二阶子群的群元都是交换一对或者两对数字。现在我们又发现,三阶子群的群元都是 3 个数字的循环置换。因此,可以进一步猜测,4 个数字的循环置换应该构成四阶子群,并且这些子群应该是共轭的。这个猜测是否正确?拭目以待。 |
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