【原】四个数字的置换群：四阶循环子群

前面讲到，S₄ 群有七组互逆群元：

{s₁,s₂},{s₇,s₁₇},{s₈,s₁₈},{s₉,s₁₂}

{s₁₀,s₂₃},{s₁₄,s₂₁},{s₁₆,s₁₉}

已经有四组互逆群元构成了四个三阶循环子群：

{e,s₁,s₂},{e,s₉,s₁₂}

{e,s₁₀,s₂₃},{e,s₁₄,s₂₁}

还剩下三组互逆群元：

{s₇,s₁₇},{s₈,s₁₈},{s₁₆,s₁₉}

由这三组互逆群元的平方：

s₇²=s₂₂,s₁₇²=s₂₂

s₈²=s₁₃,s₁₈²=s₁₃

s₁₆²=s₁₁,s₁₉²=s₁₁

可以猜测，以下三组群元有可能分别属于三个子群：

{s₇,s₁₇,s₂₂},{s₈,s₁₃,s₁₈},{s₁₁,s₁₆,s₁₉}

查乘法表马上得出：

s₇s₂₂=s₂₂s₇=s₇³=s₁₇

s₁₇s₂₂=s₂₂s₁₇=s₁₇³=s₇

s₇⁴=s₁₇⁴=s₂₂²=e

其余两组群元有类似的乘法关系：

s₈²=s₁₃,s₈³=s₁₈,s₈⁴=e

s₁₆²=s₁₁,s₁₆³=s₁₉,s₁₆⁴=e

于是，我们找到了三个四阶循环子群：

{e,s₇,s₂₂,s₁₇}

{e,s₈,s₁₃,s₁₈}

{e,s₁₆,s₁₁,s₁₉}

容易验证，这三个四阶循环子群也是相互共轭的。从某个子群，比如说 {e,s₇,s₂₂,s₁₇} 开始，用任意一对不属于 {e,s₇,s₂₂,s₁₇} 的互逆的群元 g 和 g⁻¹ 按构造共轭子群的方法实施如下操作：

g{e,s₇,s₂₂,s₁₇}g⁻¹，g⁻¹{e,s₇,s₂₂,s₁₇}g

比如说：

s₆{e,s₇,s₂₂,s₁₇}s₆={e,s₁₈,s₁₃,s₈}

s₁₅{e,s₇,s₂₂,s₁₇}s₁₅={e,s₁₆,s₁₁,s₁₉}

……

结果发现，三个四阶循环子群确实是相互共轭的。由此证实了之前的猜测是正确的。

可能你已经注意到，在上面三个四阶循环子群中，每一个子群都有一个群元不是 4 个数字的循环置换，而是同时交换两对数字。确实如此。但是，如果你再仔细观察，就会发现，这个同时交换两对数字的操作实际上是由一个循环置换连续进行两次操作得到的结果。因此，从本质上说，这个同时交换两对数字的操作与 4 个数字的循环置换具有同样的性质。

到此为止，我们已经找到了 S₄ 群的全部低阶循环子群。除了单位群元，这些循环子群没有公共群元。