【原】非主流的数列解法，能够被接受吗？2022高考数学理科全国乙卷真题

这是2022年高考数学理科全国乙卷的一道数列问题。包含了等差数列和等比数列的知识。题目并不难，但很有代表性。老黄在这道题目中发现了一种“非主流”的数列解法，但不知道能不能被接受。大家可以说说自己的看法。

记Sn为数列{an}的前n项和，已知2Sn/n+n=2an+1.

(1)证明：{an}是等差数列；

(2)若a4, a7, a9成等比数列，求Sn的最小值.

分析：这种非主流解法就来自第(1)小题。由题干所给的等量关系，我们可以转化得到另一个式子：Sn=nan-n(n-1)/2. 观察这个式子，你有什么发现吗？

没错，它指的是：以an为首项，-1为公差的等差数列{an}的前n项和。事实上，就是把数列a1, a2, a3, …, an; d=1，倒过来写成了：an, a_(n-1), a_(n-2), …, a1; d=-1.

因此，到这里就可以直接得到{an}是等差数列的结论了。但老黄担心这种“非主流”的方法，不被阅卷老师认可，因此在下面的解题过程中，并不会在这里直接给出结论，而是继续证明a_(n+1)-an等于一个常数。

这里引发了老黄关于数学的一些思考。有一个疑惑，一直困扰着老黄，相信绝大多数人也会受到这个问题的困扰。那就是一些超纲的数学定理和公式，甚至有可能是定理、公式都没有总结出来的数学知识，能不能直接应用在数学考试中。

很多人会因为担心扣分而选择放弃。但老黄觉得，数学考试不应该被太多条条框框限制成一种形式主义，只要学生应用的知识在数学整个领域上是合理的，就应该给予鼓励。没错，很多老师也都是这样想的。只是到了实践，往往就会变了味。

这个困扰其实是从小学开始，就深深烙印在学生们的心里的。这里面牵涉的东西可就多了。可以说，我们的学生们，绝大多数的数学发散思维，在小学阶段就被死死地封印住了。事实上，这个问题也困扰了许多老师。OK，我们还是回答问题本身吧。具体的解法如下：

证明：(1)由2Sn/n+n=2an+1 ，有Sn=nan-n(n-1)/2, 【{an}是以an为首项，-1为公差的等差数列.】

S_(n+1)-Sn=a_(n+1)=(n+1)a_(n+1)-nan-(n(n+1)/2-n(n-1)/2)=(n+1)a_(n+1)-nan-n,

n(a_(n+1)-an)=n, n≥1, ∴a_(n+1)-an=1. 即{an}是等差数列，d=1.

解：(2)若a4, a7, a9成等比数列, 则(a1+6)^2=(a1+3)(a1+8),

解得a1= -12. Sn=-12n+n(n-1)/2=(n-12.5)^2/2-78.125.

因为n是正整数，所以当n=12或n=13时，Sn=-78最小.

老黄写这些作品，并不为了显能。其实老黄很笨的，经常莫名其妙地说错话，写错字。老黄只是希望通过自己不断地努力，使越来越多的人与学习结缘。学习会让你在快乐中进步的。你说呢！