【原】概率问题的第三类方法？2022年高考理科数学全国甲卷真题分析

这是一道很难用公式法，也很难用列举法解决的概率题，来自2022年高考数学理科全国甲卷，是一道填空题。问：

从正方体八个顶点中取4个，4点共面的概率是____.

分析：问题分成两个部分，第一部分是求正方体八个顶点中任取4点有几种取法。可以直接用排列组合公式C(8,4)=8!/(8-4)!4!)=70种取法。这一步非常简单。第二部分是找出这些取法中，能构成一个平面的有多少。

假如有一个公式可以求出四点共面的可能性的总数，那就特别简单。但这恐怕很难做到。老黄尝试任取三点，因为三点一定共面，求出三点共面的可能性有56种，然后除以重复的情形。但这样做是错误的。因为正方体上存在三点共面，却没有四点共面的情形。比如一条面对角线与对面的四个顶点中的两个，都不能形成四点共面。

这么一说，倒还是有可能得到这个公式的。因为六个侧面有12条对角线，每条对角线有2个三点共面，因此有24个三点共面而不是四点共面。不过这24种情况中，又有3种重复，因此只有8种三点共面而不是四点共面。算下来就剩下48种三点共面并且能形成四点共面的情况。

很明显的，其中又有4种重复，从而有48/4=12。结果四点共面的概率就有12/70=6/35。想想这个探究的过程，它已经远远脱离公式 法的实质。近似于列举法，也不完全属于列举法。老黄称之为分析法。

另一种方法是注意到正方体每一条棱可以构成3个面。12条棱就有36个面。但这些面其实包含两种类型。其中有6个是侧面。还有6个是含有侧面对角线的面，老黄称这类面为“平行对角线面”。一共12个，其它的面都是这12个面的重复。因此，四点共面的情况只有12种，概率就是12/70=6/35.

上面这种方法显然是最简便的。不过老黄第一时间用的并不是这种方法，而是另一种类似的方法。老黄先计算正方体中有多少两点的连线，一共有7×8/2=28条. 其中有12条棱，12条面的对角线和4条体的对角线。

而单纯由棱线构成的有六个面，就是六个侧面。由两条棱线和两条对角线组成的面也有六个，就是六个“平行对角线面”。因此一共有12个四点共面，概率就是12/70=6/35.

关于正方体的知识点非常多而零碎，平时要多归纳总结，到了高考，才能快速准确地解决相关的问题，你说呢？