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向量运算在高考数学中算是比较简单的问题。相关知识掌握好，它就是送分题。怎么把相关知识掌握好，那当然就要靠平时的努力了。像下面这道2022年高考数学理科全国甲卷的向量真题，就一定要把它相关的知识全部理解透。绝对不能一知半解就算了。 设向量a和向量b的夹角的余弦值为1/3，且|向量a|=1，|向量b|=3，则(2倍向量a+向量b)*向量b=_________. 分析：这道题主要运用两个知识及其相关的一些小知识。 1、向量的夹角余弦公式. cosθ=向量a*向量b/(|向量a|*|向量b|)，这里cosθ=1/3. 事实上，这个公式，包括老黄在内，很多人可能理解得远远不够。绝大多数人都只是死记硬背而已。以致老黄曾一度把分母错记成了|向量a*向量b|。然而向量模的积并不等于向量积的模的。事实上，向量的积是一个标量，并不存在向量的模的概念。 另外，老黄以前还一直纳闷，两条直线的夹角，应该是一组互为补角，那么两个向量的夹角，应该算哪一个呢？其实这也是很简单的问题。一方面，只要求出这个夹角的余弦，由它的符号性质，就可以知道是哪个夹角了。因为互为补角的两个角的余弦值，一定是一正一负的。另一方面，从向量的方向，就可以明确这个夹角。它就是以交点为端点，两个向量所在射线与公共端点形成的角。 虽然这些问题看起来都很简单，但是平时如果不把它们明确起来，在高考中某个时候，它可能就会跳出来成为你解题的难点或疑惑点了。 由cosθ=向量a*向量b/(|向量a|*|向量b|)=1/3，代入已知两个向量的模，就可以求得，向量a*向量b=(|向量a|*|向量b|)/3=1. 2、向量的四则运算法则和运算律。向量的加减乘除的运算法则和几何意义都要掌握好。向量并没有倒数，所以向量并不存在一般意义上的除法。所以向量之间其实只有三则运算——加减和乘法。不过向量可以除以标量。另外，还有一件相当诡异的事情是，除以一个向量，没有意义，但连续除以两个向量，却可以得到一个结果。 比如向量c=(0,1), d=(1,-1)，用1除以c，不能得到任何结果，但用1 除以c，再除以d，就得到1除以(c*d)=1/(-1)=-1. 老黄突然发现，自己可能得了幻想症，怎么写着写着就不着调了。回归主题。除了运算法则，向量运算最有趣的地方就是，它还遵循一般的运算律，比如加法的运算律和乘法的运算律。除此之外，还可以应用完全平方公式和平方差公式等。 比如这道题接下来的运算，就要运用到乘法分配律。结合“向量的平方等于它的模的平方”，就可以得到：(2倍向量a+向量b)*向量b=2倍向量a*向量b+向量b^2=2+9=11. 你以为这样就结束了吗？没有，老黄还在思考复杂向量的点积的几何意义。像(2倍向量a+向量b)*向量b这个向量积要怎么在坐标平面上表示出来。如下图： 图中OA就表示向量a，OB表示向量b，而OC就是2倍向量a，OD是2倍向量a+向量b，OE是OD在OB上的投影。(2倍向量a+向量b)*向量b表示的是向量OB的模与OE的积。那么这个OE是标量还是向量呢？老黄觉得它应该是一个向量，因为它是有符号性质的。那么问题来了。 我们都知道，向量的点积是一个标量，标量与向量的仍然是一个向量。那么，OB的模与OE的积，到底是一个标量，还是一个向量呢？这应该是一个理解的问题吧！ 老黄的这种幻想症，正是探究数学所需要有的样子。做不到，自然会觉得高考数学太难了。 |
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来自： 老黄的图书馆 > 《高考数学真题分析》
