向量的坐标表示；数量积

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

向量的坐标表示；数量积

 

二. 重点、难点：

1.

2.

则

则即

，

3.       

 

 

【典型例题】

[例1] A（）B（）C（）且，，试求M、N及的坐标。  

解：       ∴ M（0，20）

（12，6）    ∴ N（9，2）    ∴

 

[例2] ，

（1）若，求

（2）若，求

解：设

（1）或

∴

（2）或

∴

 

[例3] ，，，，若，则        。

解：，

    ∴     ∴

 

[例4] A（1，7）B（0，0）C（8，3），D为线段BC上一点，若，求D点坐标。

解：D在线段BC上   ∴    

∴     ∴     

    ∵     ∴

∴        ∴

 

[例5] ，为何值时

解：

   ∴

∴     ∴

 

[例6] 梯形ABCD，AB//CD，A（1，1），B（），C（）且，求D坐标。

解：设D（x，y）

，

∵     ∴

∴     ∴ D（）

[例7] ，M为直线OP上一点，求当最小时，的坐标及的余弦值。

解：O、M、P三点共线    ∴

  

∴ 时，

此时   ∴

 

[例8] ，围绕原点，按逆时针方向旋转，得，求的坐标。

解：设，　　∴　

∵　夹角     ∴    ∴

∴     ∴ 或（舍）

∴

 

[例9] 正方形OABC边长为1，求D、E为AB、BC中点，求的余弦值。

解：以OA、OC为x，y轴建立直角坐标系 

∴

∴

   ∴

 

[例10] 直角，，求。

解：

（1），    ∴     ∴

（2），      

（3），       

∴

 

[例11] 为单位向量，夹角为。

（1）求与的夹角的余弦；

（2）若与夹角，求。

解：  

（1）

（2）   

∴

   ∴ 或（舍）

 

[例12] 为非且，，求夹角。

解：由已知

∴    ∴

   

 

【模拟试题】

1. 平面上有三点A、B、C坐标分别为（1，3）（7，y）（2，2），若，则（    ）

    A. 9    B. 8    C. 7   D. 6

2. ，，则（    ）

    A. 10    B. 14    C.     D.

3. ，则夹角为（    ）

    A.     B.     C.     D.

4. 下列关于叙述正确的结论为（    ）

A.                     B.

C.                                D. 若，则

5. 若恰好满足，则一定有（    ）

    A.     B.     C. 或    D.  

6. 若，且，则与的关系为（    ）

    A. 平行    B. 垂直    C. 相交不垂直    D. 无法判断

7. 在中，设，若，则为（    ）

    A. 锐角三角形    B. 直角三角形    C. 钝角三角形    D. 均有可能

8. 矩形ABCD中，，设，当时，（    ）

    A. 1    B. 2    C.     D.

9. ，的最小值为（    ）

    A.     B.     C.     D.

10. ，则与垂直的向量为（    ）

    A.     B.     C.     D.

 

 

 

 

 

 

【试题答案】

1. C    2. B    3. C    4. B    5. D    6. B   7. C    8. C    9. C    10. B