【原】小学奥数之约数与倍数

【约数问题】

　　例1 用1155个同样大小的正方形拼成一个长方形，有______种不同的拼法。（上海市第五届小学数学竞赛试题）

　　讲析：不论拼成怎样的长方形，它们的面积都是1155。

　　而长方形的面积等于长乘以宽。所以，只要将1155分成两个整数的积，看看有多少种方法。一般来说，约数都是成对地出现。

　　1155的约数共有16个。

　　16÷2=8（对）。

　　所以，有8种不同的拼法。

　　例2 说明：360这个数的约数有多少个？这些约数之和是多少？

　　（全国第三届“华杯赛”决赛第一试试题）

　　讲析：将360分解质因数，得

　　360=2×2×2×3×3×5=2³×3²×5。

　　所以，360的约数个数是：（3+1）×（2+1）×（1+1）=24（个）

　　这24个约数的和是：

　　例3 一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积。这个数当然有许多约数是两位数，这些两位的约数中，最大的是几？

　　（全国第一届“华杯赛”决赛第一试试题）

　　讲析：这个数是2×2×2×2×2×3×3×3×5×5×7。

　　把两位数从99、98、……开始，逐一进行分解：

　　99=3×3×11； 98=2×7×7；

　　97是质数； 96=2×2×2×2×2×3。

　　发现，96是上面数的约数。

　　所以，两位数的约数中，最大的是96。

　　例4 有8个不同约数的自然数中，最小的一个是______。

　　（北京市第一届“迎春杯”小学数学竞赛试题）

　　讲析：一个自然数N，当分解质因数为：

  　　因为8=1×8=2×4=2×2×2，

　　所以，所求自然数分解质因数，可能为：

　　27，或2³×3，或2×3×5，……

　　不难得出，最小的一个是24。

【倍数问题】

　　例1 6枚1分硬币叠在一起与5枚2分硬币一样高，6枚2分硬币叠在一起与5枚5分硬币一样高，如果分别用1分、2分、5分硬币叠成的三个圆柱体一样高，这些硬币的币值为4元4角2分，那么这三种硬币总共有______枚。

　　（上海市第五届小学数学竞赛试题）

　　讲析：因为6枚1分的硬币与5枚2分的一样高，所以36枚1分的硬币与30枚2分的一样高。

　　6枚2分的硬币与5枚5分的一样高，所以30枚2分的硬币与25枚5分的一样高。

　　因此，36枚1分的硬币高度等于30枚2分的高度，也等于25枚5分的高度。它们共有：

　　1×36+2×30+5×25=221（分）。

　　4元4角2分=442（分），442÷221=2。

　　所以，1分的硬币共36×2=72（枚），2分的硬币共30×2=60（枚），5分的硬币共25×2=50（枚），即总共有182枚。

　　例2 从1、2、……、11、12中至多能选出______个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍。

　　（1990年全国小学数学奥林匹克初赛试题）

　　讲析：1、3、5、7、9、11是奇数，不可能是任何整数的2倍。剩下的数有2、4、6、8、10、12六个数，且6是3的2倍，10是5的2倍。如取2，则4、8、12就都不能取；如取4，则2、8不能取，故只可取12；如取8，则2、4不能取，故只可取8。所以至多能选取8个数。

　　例3 小明的两个衣服口袋中各有13张卡片，每张卡片上分别写着1、2、3、……13。如果从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积，可以得到许多不相等的乘积，那么，其中能被6整除的乘积共有______个。

　　（北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题）

　　讲析：因为6=2×3，所以能被6整除的因数中，至少含有一个2和一个3。

　　当一边取6，另一边取1、2、……、13时均成立，有13个积；

　　当一边取7、8、9、10、11、12、13，另一边取12时，有7个积；

　　当一边取10，另一边取9时，有1个积。

　　所以，不相等的乘积中，被6整除的共有：

　　13+7+1=21（个）。

　　例4 设a与b是两个不相等的自然数。如果它们的最小公倍数是72，那么a与b之和可以有______种不同的值。

　　（北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题）

　　讲析：因为72=2³×3²，它共有约数

　　（3+1）×（2+1）=12（个）

　　这12个约数，每个约数与72的最小公倍数都是72，a、b之和有12种不同的值；

　　当a=2²×3²=36时，b可取2³=8或2³×3=24，a、b之和有2种不同的值；

　　当a=2³×3=24时，b可取3²=9或2×3²=18，a、b之和有2种不同的值。

　　当a=2×3²=18时；b可取2³=8，a、b之和有1种不同的值。

　　所以，满足条件的a与b之和共有17种不同的值。